Convergenza globale del metodo del punto fisso

[andreadel1988]

E' data la funzione $f(x)=x^2-3x+2$, con l'equazione associata $f(x)=0$, avente radici $1$ e $2$. Considera l'iterazione con punto fisso, con $x_0!=1$, $x_(k+1)=1/\omega(x_k^2-(3-omega)x_k+2)$ con $\omega!=0$.

i) Identifica il più grande intervallo in $\omega$ tale che per ogni $\omega$ in questo intervallo l'iterazione converge a $1$;
ii) Per $\omega=2$, determina $alphain(0,1]$ tale che l'iterazione converga a $1$ per ogni $x_0in[1-alpha,1+alpha]$.

Io ho provato così:
i) Posto $phi(x)=1/\omega(x^2-(3-omega)x+2)$ abbiamo che $|phi'(x)|<1$ se e solo se ${(x in(3/2-\omega,3/2),if \omega>0),(x in(3/2,3/2-\omega),if \omega<0):}$. Siccome $1$ deve trovarsi all'interno di questi intervalli di $x$ allora l'unica possibilità è $x in(3/2-\omega,3/2)$ con $omega>1/2$. Inoltre notiamo che $phi(x)<phi(3/2)=3/2-1/(4\omega)<3/2$ e $phi(x)>phi(3/2-\omega)=3/2-1/(4\omega)>3/2-\omega$ (queste disugualianze sono tutte verificate perchè $omega>1/2$). Ma allora per il teorema di convergenza globale dei punti fissi se prendiamo un qualunque compatto all'interno di $(3/2-\omega,3/2)$ con $omega>1/2$ allora si ha convergenza alla radice $1$.
ii) Si ha che $phi(x)=(x^2-x+2)/2$ da cui $|phi'(x)|<1$ se e solo se $x in (-1/2,3/2)$, da cui $alphain(0,1/2)$. Inoltre $phi(x)<phi(1+alpha)=(alpha^2+alpha+2)/2<1+alpha$ e $phi(x)>phi(1-alpha)=(alpha^2-alpha+2)/2>1-alpha$ (queste disugualianze sono tutte verificate perchè $alphain(0,1/2)$). Quindi per il teorema di convergenza globale in $[1-alpha,1+alpha]$ con $alphain(0,1/2)$ si ha convergenza alla radice $1$, ad esempio posso prendere $alpha=1/4$.

Volevo sapere se andasse bene o fosse sbagliato, grazie.

[Quinzio]

Si, direi che va bene.

[andreadel1988]

Ok, grazie.

[andreadel1988]

Ho provato a usare matlab ma non ridà, o meglio ridà negli intervalli che ho detto però ridà anche su alcuni valori esterni agli intervalli che ho detto, ho usato come codice questo:

Codice:

x=;
omega=;
for k=1:500
    x_old=x;
    x=1/omega*(x^2-(3-omega)*x+2);
    if abs(x-x_old)<1e-6
        break
    end
end

dove a $x$ e a $omega$ puoi assegnare il valore che vuoi per controllare...
il problema è che non capisco come dovrei farlo a mano, a me sembra che abbia fatto tutti ragionamenti logici e sensati ma non capisco allora perchè non sia giusto...

[andreadel1988]

Rifacendo meglio la prima parte si ha che $AAx in(3/2-\omega,3/2)$ con $omega>1/2$ vale che $Phi(x)in[-\omega/4+3/2-1/(4\omega),3/2-1/(4\omega))$, poichè si deve avere che $[-\omega/4+3/2-1/(4\omega),3/2-1/(4\omega))sube(3/2-\omega,3/2)$ affinchè il teorema di convergenza globale del punto fisso valga allora $omega>1/sqrt(3)$, quindi l'intervallo più grande in $\omega$ è $(1/sqrt(3),+infty)$,

Nel secondo si ha che per $alphain(0,1/2)$ vale che $[1-alpha,1+alpha]sub(-1/2,3/2)$ e siccome $\omega=2$ per quanto detto nel punto precedente si ha convergenza globale su $(-1/2,3/2)$e quindi in particolare su $[1-alpha,1+alpha]$.

Correggetemi se ho sbagliato qualcosa, grazie