newton_1372 ha scritto:Costruzione degli insiemi numerici: uno dei miei argomenti di matematica preferito in assoluto.
Siamo in due
newton_1372 ha scritto:Anche se vedere N come insiemi di insiemi di....di insiemi vuoti non è molto entusiasmante; sembra dire che ogni numero è fatto di nulla.
Io invece adoro quella costruzione perché porta in maniera molto facile ed immediata alla teoria degli ordinali, che fa da fondamento a molti dei miei interessi attuali.
newton_1372 ha scritto:Molto meglio vedere il "numero" come classe di equivalenza fatta da insiemi equipotenti.
(...)
TEOREMA. L'equipotenza è una relazione di equivalenza
Concordo sul potere intuitivo della cosa (ed anche strutturale: i cardinali sono le classi di isomorfismo della categoria degli insiemi con le funzioni tra insiemi e gli ordinali sono le classi di isomorfismo della categoria degli insiemi totalmente ordinati con le mappe che preservano l'ordine), ma dal punto di vista dei fondamenti è un approccio tremendamente problematico. Il teorema che enunci un matematico su due lo riterrebbe falso. Se lavoriamo con gli assiomi di ZFC (che sono quelli più comunemente usati) questa cosa non si può fare, perché per definire una classe di equivalenza devi partizionare un insieme, e non esiste l'insieme di tutti gli insiemi. Se lavoriamo in NBG ("ZFC con le classi", estensione conservativa di ZFC) si può fare il giochino che dici, ma non possiamo definire neanche \(\mathbb{N}\), perché gli interi sarebbero classi proprie, e in quanto tali non possono essere elementi di un'altra classe. Nel sistema assiomatico di Tarski-Grothendieck (estensione
non conservativa di ZFC; in particolare, implica l'esistenza di cardinali inaccessibili) si può fare in maniera liscia e indolore (è uno dei motivi per cui adoro questo sistema assiomatico), il problema è che, per ora, è un sistema di assiomi diffuso solo tra chi lavora in determinati settori della matematica. Fortunatamente sta prendendo sempre più piede (è attualmente il sistema assiomatico in cui lavorano il
Mizar system e
Metamath), ma per il momento non tutti lo conoscono, quindi non lo si può usare con troppa
nonchalance al di fuori dei settori cui accennavo.
newton_1372 ha scritto:PROBLEMA (...)
Qui il problema è solo apparente. Dobbiamo distinguere tra linguaggio e metalinguaggio. La proprietà "esiste ed è unico" può essere espressa senza ricorrere al concetto di \(1\) visto come elemento della nostra teoria o del modello che usiamo per la teoria. Poggia sul nostro concetto intuitivo di "uno", ma l'idea di "uno" (qualunque cosa sia, non siamo neanche costretti a porci questo problema) non fa parte né della teoria logica che stiamo sviluppando né del suo modello. Ovviamente, il nostro \(1\), come il concetto di unicità saranno comunque ispirati all'intuizione che noi abbiamo dell'uno, ma possono essere definite senza ricorrere esplicitamente al concetto di "uno" e senza fare appello a qualsiasi forma di intelligenza. Una macchina di Turing capisce \(1\), ma non capisce "uno".
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)
«(...) per consegnare alla morte una goccia di splendore,
di umanità,
di verità...»