2+2=4

[mattex1993]

il nuovo professore di matematica ha esordito così:

al di là dei simboli, perchè 2+2=4?
anche per un alieno che vive a miliardi di anni luce da noi, vale la stesso risultato?
in natura, ci sono esempi in cui 1+1=0 oppure 1+1=1 ?
naturalmente non conta cambiare base numerica

risposte all'apparenza banali, ma ne siamo davvero sicuri?
mi sembrano domande che suggeriscono la risposta.
io fino a una settimana fa avrei detto:

SI, ANCHE PER UN ALIENO 2+2=4 e NO, IN NATURA 1+1 NON FA 0.

ma oggi ho dei dubbi

[Epimenide93]

In questa forma, sono domande prive di senso.

Fissate delle regole di inferenza logiche equivalenti a quelle usate per lavorare con l'aritmetica e un sistema assiomatico coerente che permetta di definire i numeri naturali con una definizione equivalente alla nostra, anche per un alieno \(2+2\) farà \(4\). Se si lavora in un ambiente logico o algebrico diverso il risultato sarà generalmente diverso.

La matematica è una cosa, "la natura" un'altra, possiamo usare la prima per modellizzare più o meno bene la seconda (qualunque cosa vogliamo intendere con "natura"), ma non ha senso chiedersi se in natura sia vera un'affermazione matematica.

Possiamo modellizzare lo spettro dei colori assieme all'operazione di sovrapposizione/miscela di essi con una struttura algebrica, in cui \(rosso\) non è l'elemento neutro, ma \( rosso + rosso = rosso \).

Tre brevissime riflessioni per sottolineare quanto la domanda sia vaga e imprecisa.

[newton_1372]

Io penso che sia una questione di "definizione".
Il simbolo 4 è associata alla reiterazione di un certo numero di volte di passaggio al successivo (come gli altri simboli). Allora 2+2=4 diventa un teorema

[Epimenide93]

Io penso che sia una questione di "definizione".
Il simbolo 4 è associata alla reiterazione di un certo numero di volte di passaggio al successivo (come gli altri simboli). Allora 2+2=4 diventa un teorema

Dipende dal "livello" in cui ci fermiamo. Se accettiamo determinate regole logiche, sono sommariamente d'accordo con te. Dipende tutto dall'ambiente in cui si lavora. Se hai una logica che ti permetta di esprimere un sistema di assiomi equivalente a (tanto per fare un esempio) \(\sf ZFC\) allora puoi definire il monoide \((\mathbb{N},+)\) avendo come sostegno l'insieme \(\mathbb{N}\) degli ordinali finiti (sempre per fare un esempio tra le costruzioni possibili) e con l'operazione di somma definita al solito modo. Allora \(2+2 = 4\) diventa un teorema. Questo non ci dà comunque alcuna informazione su cosa succeda in un altro contesto assiomatico che non sia equivalente a quello di partenza o che non lo estenda. Prova a dare un occhiata a qualche testo introduttivo di logica matematica, ti si aprirà un mondo.

[Rufus T. Firefly]

Chiamiamo "1" l'operazione di cambiare lo stato di un interruttore (se era spento e applichiamo "1", allora il suo stato verrà cambiato in acceso e viceversa), e chiamiamo "0" l'azione di non cambiarne lo stato.
Allora possiamo dire che, per un interruttore con solo due posizioni operative (ON e OFF), l'applicazione di due cambi di stato consecutivi equivale a non aver cambiato affatto lo stato, ovvero:
\(\displaystyle 1+1=0 \)

[newton_1372]

Costruzione degli insiemi numerici: uno dei miei argomenti di matematica preferito in assoluto.
Anche se vedere N come insiemi di insiemi di....di insiemi vuoti non è molto entusiasmante; sembra dire che ogni numero è fatto di nulla.

Molto meglio vedere il "numero" come classe di equivalenza fatta da insiemi equipotenti. Ovvero

DEF. Due insiemi li dico equipotenti se è possibile trovare una corrispondenza bigettiva tra i suoi elementi.

TEOREMA. L'equipotenza è una relazione di equivalenza
DImostr. (Esercizio)

E a questo punto posso definire i numeri "a manetta", con relativi simboli:
DEF. Chiamo "0" la classe di equivalenza dell'insieme vuoto.
DEF. Chiamo "1" la classe di equivalenza dell'insieme {Giacomo}
DEF. Chiamo "2" la classe di equivalenza dell'insieme {Giacomo, Mario}
DEF. Chiamo "3" la classe di equivalenza dell'insieme {Giacomo, Mario, Pietro}
e così via.

[newton_1372]

PROBLEMA nella costruzione sopra: prima dovrei definire cos'è un applicazione BIGETTIVA.

"Una funzione f,A,B è bigettiva se per ogni elemento di A esiste UNO e UN SOLO elemento di B, e l'immagine di f coincide con B"

e anche la definizione di immagine:

"Immagine di f è l'insieme degli elementi di B per cui esiste UN elemento di A che vengono mandati in lui".

Come si vede, ho dovuto usare le nozioni di ZERO e UNO. La circolarità è servita.

[Epimenide93]

Costruzione degli insiemi numerici: uno dei miei argomenti di matematica preferito in assoluto.

Siamo in due

Anche se vedere N come insiemi di insiemi di....di insiemi vuoti non è molto entusiasmante; sembra dire che ogni numero è fatto di nulla.

Io invece adoro quella costruzione perché porta in maniera molto facile ed immediata alla teoria degli ordinali, che fa da fondamento a molti dei miei interessi attuali.

Molto meglio vedere il "numero" come classe di equivalenza fatta da insiemi equipotenti.
(...)
TEOREMA. L'equipotenza è una relazione di equivalenza

Concordo sul potere intuitivo della cosa (ed anche strutturale: i cardinali sono le classi di isomorfismo della categoria degli insiemi con le funzioni tra insiemi e gli ordinali sono le classi di isomorfismo della categoria degli insiemi totalmente ordinati con le mappe che preservano l'ordine), ma dal punto di vista dei fondamenti è un approccio tremendamente problematico. Il teorema che enunci un matematico su due lo riterrebbe falso. Se lavoriamo con gli assiomi di ZFC (che sono quelli più comunemente usati) questa cosa non si può fare, perché per definire una classe di equivalenza devi partizionare un insieme, e non esiste l'insieme di tutti gli insiemi. Se lavoriamo in NBG ("ZFC con le classi", estensione conservativa di ZFC) si può fare il giochino che dici, ma non possiamo definire neanche \(\mathbb{N}\), perché gli interi sarebbero classi proprie, e in quanto tali non possono essere elementi di un'altra classe. Nel sistema assiomatico di Tarski-Grothendieck (estensione non conservativa di ZFC; in particolare, implica l'esistenza di cardinali inaccessibili) si può fare in maniera liscia e indolore (è uno dei motivi per cui adoro questo sistema assiomatico), il problema è che, per ora, è un sistema di assiomi diffuso solo tra chi lavora in determinati settori della matematica. Fortunatamente sta prendendo sempre più piede (è attualmente il sistema assiomatico in cui lavorano il Mizar system e Metamath), ma per il momento non tutti lo conoscono, quindi non lo si può usare con troppa nonchalance al di fuori dei settori cui accennavo.

PROBLEMA (...)

Qui il problema è solo apparente. Dobbiamo distinguere tra linguaggio e metalinguaggio. La proprietà "esiste ed è unico" può essere espressa senza ricorrere al concetto di \(1\) visto come elemento della nostra teoria o del modello che usiamo per la teoria. Poggia sul nostro concetto intuitivo di "uno", ma l'idea di "uno" (qualunque cosa sia, non siamo neanche costretti a porci questo problema) non fa parte né della teoria logica che stiamo sviluppando né del suo modello. Ovviamente, il nostro \(1\), come il concetto di unicità saranno comunque ispirati all'intuizione che noi abbiamo dell'uno, ma possono essere definite senza ricorrere esplicitamente al concetto di "uno" e senza fare appello a qualsiasi forma di intelligenza. Una macchina di Turing capisce \(1\), ma non capisce "uno".

[Cmax]

È vecchia, ma simili titoli mi trasformano in un narratore compulsivo ...
A un matematico, un fisico, un ingegnere e un economista viene chiesto quanto faccia 2+2.
Il matematico formula gli assiomi che definiscono un sistema in cui 2+2=4.
L'ingegnere prende il regolo (1) e afferma con sicurezza 4.
Il fisico fa qualche calcolo e stima come risultato 4 con un errore di 0,001.
L'economista si guarda intorno, chiude furtivamente la porta e sussurra: «Quanto volete che faccia?».

(1) Il fatto che venga menzionato un regolo rende l'idea dell'età della barzelletta.

[stenford]

Premetto che non ho le conoscenze di base e teoriche come chi ha risposto precedentemente ha dimostrato, comunque ti vorrei proporre una cosa che ho pensato(perdonate se è stupida):

In un'altro pianeta vi sono dei robot(gruppo A) che presi singolarmente sono dei computer non dotati di pensiero autonomo, ma se si collegano tutti(assumiamo per tutti una quantità infinita) insieme allora diventano una sola IA(intelligenza artificiale). Quindi se TUTTI i robot del pianeta sono collegati tra loro possono considerarsi,essendo coscienti della loro esistenza, 1 altrimenti non hanno facoltà di autocoscienza e quindi sono 0.
Premettiamo che i robot sanno che se non sono tutti collegati tra loro non saranno una IA e quindi saranno 0.
Ogni robot è quindi 1 se sono tutti collegati tra loro, ma la somma dei singoli robot resta sempre 1 in quanto la stessa identità.
Ora su questo pianeta arriva un'altro gruppo di robot(gruppo B) da un'altro pianeta con le stesse caratteristiche(il gruppo A e B non possono collegarsi fra loro e sono indipendenti).
I robot A sanno che valgono le stesse regole di esistenza dell'individualità anche per i robot B. Ovvero se i robot B saranno arrivati tutti(tutti i robot dell'altro pianeta) insieme allora saranno 1 altrimenti 0.
Quindi preso un singolo robot(la macchina singola) di A se lui facesse la somma di sè stesso e di un'altro robot di B, tale somma sarà 1+0 , se B non ha tutti i robot collegati, 1+1 se invece tutti i robot sono collegati in A e B.
Ora se un robot di A fa la somma di se stesso e di altri due robot di B, tale somma sarà sempre la stessa...
Inoltre se il gruppo A venisse sul nostro pianeta la nostra somma di unità sarebbe diversa dalla loro, in quanto vediamo l'esistenza in modi diversi.

Cioè il punto su cui stavo pensando è che il gruppo di robot saranno macchine(inteso fisicamente sono vari robot) differenti tra loro, che però si considereranno la stessa cosa in quanto stessa IA, che è diverso da come ci concepiamo noi(ogni persona è un'unità singola e a sè stante).

Provando a leggere le varie risposte(non le ho capite completamente , mancandomi delle nozioni) possiamo cambiare le assunzioni di base per ricondurci al caso dei robot assumendo delle premesse diverse dal nostro sistema originale di "conteggio".

Le premesse però per costruire una nuova "teoria" che poi va dimostrata sono create da noi uomini che vediamo le cose in un certo modo.
Possono essere ottenute:
1)sviluppando un'idea già esistente e dimostrata
2)confutando delle premesse di base non ancora dimostrate e vedere a cosa portano(per es: le rette parallele non si incontrano mai)
3)domandandoci cosa succederebbe se... per es: cosa succede se io conto partendo da 0 e quando arrivo a 2 ritorno a 0?

Tralasciando le prime due che sono riconducibili alla 3 il problema sta nel fatto che noi possiamo fare ipotesi, ma sono comunque legate al modo in cui vediamo il mondo.

Se per esempio in un'altro pianeta ci fosse un metodo di conteggio diverso dal nostro, ma ottenuto da premesse che non siamo capaci di immaginare in quanto magari(cercate di capire il concetto laterale) loro vedono a 4 dimensioni.
Saremmo sicuri di riuscire a raggiungere tali premesse di base?
Per noi magari il loro metodo di conteggio è errato, ma per loro è logico.