Maratona problemi teoria dei gruppi

[Martino]

vict, non ho capito bene la tua dimostrazione, comunque ho trovato un paio di errori sicuri:

$|S_{2^s}|=(2^s)!$ e il $2$-Sylow di $S_{2^s}$ ha cardinalità $2*4*...*2^{s-1}*2^s = 2*2^2*...*2^{s-1}*2^s = 2^{(s*(s+1))/2}$

Non è vero: per esempio i $2$-Sylow di $S_8$ hanno cardinalità $2^7$. In realtà il numero che cerchi è $2^{2^s-1}$.

Quindi deve aversi $2^{s+1}=2^{(s*(s+1))/2}$

Perché? Non è detto che un $2$-Sylow sia contenuto in un $S_{2^s}$, o no? Per esempio un $2$-Sylow di $S_6$ non è contenuto in $S_2$ e nemmeno in $S_4$.

Quindi solo per $n=4$ e $4<=m<8$.

Ma i $2$-Sylow di $S_6$ hanno ordine $2^4$, non $2^3$..

[fu^2]

Quindi deve aversi $2^{s+1}=2^{(s*(s+1))/2}$ e quindi $s+1 = (s*(s+1))/2$ e cioé $s=2$

uhm non mi è chiaro questo passaggio... mi sfugge l'esponente $s+1$... potresti spiegarmelo? grazie

[vict85]

X Martino: Per la prima cosa hai ragione (avevo dimenticato tutti i numeri pari ) ma in ogni caso non mi serve, mi basta che la cardinalità sia maggiore o uguale a $2^{(s*(s+1))/2}$. La seconda cosa non l'ho capita, per la terza credo di aver già risposto.

Era richiesto che fosse un $S_m$. Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.
Ho scritto $2^(s+1) = 2^{(s*(s+1))/2}$ perché si chiedeva per quali $n$ e $m$, $D_(2n)$ fosse un $2$-Sylow di $S_m$. E quindi quello era la condizione $D_(2n)$ è un $2$-Sylow di $S_m$.
Avendo sbagliato la cardinalità di $S_{2^s}$ devo cambiare quel pezzo in $2^(s+1) >= 2^{(s*(s+1))/2}$ che è una condizione necessaria ma non sufficiente affinche $D_(2^{s+1})$ è un $2$-Sylow di $S_{2^s}$ (ma che mi permette comunque di spiegare perché non vale per $s>2$).

P.S: $2^(s+1)$ era la cardinalità di $D_(2^(s+1))$ cioé per $n=2^s$

La risposta finale comunque diventa: solo per $D_4$ in $S_4$ e $S_5$ o per $n=2$ e $m=4$ e $m=5$

[vict85]

La scrivo meglio.

Prima di tutto con $D_(n)$ io intendo il gruppo delle permutazioni di un poligono regolare di $n$ lati, e quindi è un sottogruppo di $S_n$. Nei post prima lo avevo indicato con $D_(2n)$

Se $D_(n)$ è un $p$-Sylow di un certo gruppo $G$ allora $p=2$ perché $|D_(n)| = 2n$ e $n=2^(s-1)$ per qualche $s$ e quindi si tratta di $D_(2^s)$.

Se $G=S_m$ e $n=2^(s-1)$ allora $m>=2^(s-1)$.

Se $2|m$ allora la cardinalità dei $2$-Sylow di $S_m$ è la stessa di quelli di $S_(m+1)$. Inoltre un $2$-Sylow di $S_m$ è un $2$-Sylow di $S_(m+1)$.

Con questo in mente consideriamo $S_(2^(s-1))$. Sia $H$ il suo $2$-Sylow e quindi $|H| > 2*2^2*...*2^(s-1) = 2^((s(s-1))/2)$.

Se $H=D_(2^s)$ allora deve aversi $|D_(2^s)|=2^s>2^((s(s-1))/2)$ e quindi $s <= 3$.

[Martino]

Aaah! Adesso forse ho capito perché non ci capivo niente. Questo è il problema proposto da fu^2:

dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.

In altre parole: per quali $m$ i $2$-Sylow di $S_m$ sono diedrali?

Secondo me tu (vict85) invece hai affrontato quest'altro problema:

dire per quali $n$ esiste $m$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.

O sbaglio?

Secondo me il problema originale (quello proposto da fu^2) è più difficile di quello che può sembrare; ma magari mi sbaglio.

[vict85]

Aaah! Adesso forse ho capito perché non ci capivo niente. Questo è il problema proposto da fu^2:

dire per quali $m$ esiste $n$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.

In altre parole: per quali $m$ i $2$-Sylow di $S_m$ sono diedrali?

Secondo me tu (vict85) invece hai affrontato quest'altro problema:

dire per quali $n$ esiste $m$ tale che $D_{2n}$ è un sottogruppo di Sylow per $S_m$.

O sbaglio?

Secondo me il problema originale (quello proposto da fu^2) è più difficile di quello che può sembrare; ma magari mi sbaglio.

Personalmente non credo che ci siano altri $m$ per cui questo accade... oltre a quelli che abbiamo già incontrato.

D'altra parte io ho dimostrato che se $m>=6$ allora il $2$-Sylow di $S_m$ ha una cardinalità maggiore del più grande sottogruppo diedrale con cardinalità una potenza di $2$ contenuto in esso, e quindi quel sottogruppo non è un $2$-Sylow.
E quindi nessun 2-Sylow è diedrale.
Quindi rimane da vedere per $4$ e $5$ perché $D_3$ coincide con $S_3$ e non è il suo $2$-Sylow. Per il caso di $4$ e $5$ l'abbiamo fatto prima.

[Martino]

Hai ragione, pensandoci poi (mentre guardavo Zelig ) ho visto che in realtà avevi capito bene ed ero io ad aver capito male. Ho ripercorso la tua dimostrazione e mi torna.

[Martino]

Solo una cosa (che comunque non compromette il buon esito della dimostrazione):

Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.

Questo è vero se $n$ è una potenza di $2$ (come nel nostro caso) ma non è detto che valga in generale: per esempio se $n=12$ hai che $D_{24}$ possiede elementi di ordine $12$, ma per esempio anche $S_7$ ne possiede (oltre a $S_{12}$). E allora come fai ad escludere che si abbia $D_{24} le S_7$ ?

[vict85]

Solo una cosa (che comunque non compromette il buon esito della dimostrazione):

Il più piccolo $S_m$ che contiene $D_(2n)$ per un certo $n$ è $S_n$ perché $D_(2n)$ possiede un sottogruppo ciclico di ordine $n$.

Questo è vero se $n$ è una potenza di $2$ (come nel nostro caso) ma non è detto che valga in generale: per esempio se $n=12$ hai che $D_{24}$ possiede elementi di ordine $12$, ma per esempio anche $S_7$ ne possiede (oltre a $S_{12}$). E allora come fai ad escludere che si abbia $D_{24} le S_7$ ?

Non ci avevo pensato... Avevo preso in considerazione solamente la sua interpretazione geometrica.

Questo può essere il prossimo problema allora:

Un gruppo diedrale $D_n$ può essere contenuto in un $S_m$ con $m<n$.


P.S: probabilmente non sarà difficile...

[Martino]

Oppure si potrebbe cercare, dato $n$, il piu' piccolo $m$ tale che $D_{2n} le S_m$.
Abbiamo visto che se $n=2^t$ allora $m=2^t$.