[EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

[gabriella127]

Vi propongo una variante di dimostrazione della prima disuguaglianza piuttosto 'compatta' (naturalmente ho in mente la figura).

Caso $b>f(a)$:

Introduciamo la funzione:


$ tilde(f)(y) $ $ = f^-1(y)$ se $y in[0,f(a)]$
$=a$ se $y in (f(a), b]$.

$ ab=int_(0)^(a) f(x) dx + int_(0)^(b) tilde(f) (y) dy < int_(0)^(a) f(x) dx +int_(0)^(b) f^-1(y)dy $ ,

per la monotonia dell'integrale, essendo $ tilde(f) (y) < f^-1(y) $ per $y in (f(a),b$].


Il caso $b<f(a)$ si dimostra in maniera speculare, il caso $b=f(a)$ è ovvio.

[Federico777]

Parte 2:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Caso $b<f(a)$

Innanzitutto osservo che la $(RY)$ è equivalente a $b/f(a)\int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy <= ab = \int_{0}^{f^{-1}(b)} f(x) dx + \int_{f^{-1}(b)}^{a} b dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy $

e quindi

$b/f(a)\int_{0}^{a} f(x) dx<= \int_{0}^{f^{-1}(b)} f(x) dx + \int_{f^{-1}(b)}^{a} b dx $

la quale può essere riscritta usando l'additività e portando dentro l'integrale la quantità b/f(a) come
$\int_{0}^{f^{-1}(b)}b/f(a) f(x) dx + \int_{f^{-1}(b)}^{a} f(x)/f(a)b dx<= \int_{0}^{f^{-1}(b)} f(x) dx + \int_{f^{-1}(b)}^{a} b dx $

essendo b/f(a) e f(x)/f(a) quantità sempre comprese tra $0$ e $1$ si ha che la disuguaglianza è sempre valida sotto le ipotesi fatte.

Il caso b>f(a) si dimostra in maniera simile.

Adesso però voglio vedere la soluzione di Gugo

[gugo82]

Eccoti accontentato.

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Considero \(0<b< f(a)\), per l'altro caso ragionandosi in maniera del tutto analoga.
La funzione \(\Phi(y):= \int_0^y f^{-1}(s)\ \text{d} s\) è strettamente convessa (perché ha derivata prima strettamente crescente) e perciò l'essere \(b=\frac{b}{f(a)}\ f(a) = \left( 1- \frac{b}{f(a)}\right)\ 0 + \frac{b}{f(a)}\ f(a)\) con \(0<b/f(a)<1\) importa:
\[
\begin{split}
\Phi (b) &< \left( 1- \frac{b}{f(a)}\right)\ \Phi(0) + \frac{b}{f(a)}\ \Phi(f(a)) \\
&= \frac{b}{f(a)}\ \Phi(f(a))\\
&\stackrel{\text{(Y)}}{=} \frac{b}{f(a)}\ \left( a\ f(a) - F(a)\right)
\end{split}
\]
da cui:
\[
\frac{b}{f(a)}\ F(a) + \Phi (b) < a\ b
\]
che è la (RY). \(\square\)

[Federico777]

Elegante come sempre sulla mia hai da fare precisazioni o migliorie? Mi riferisco sia alla Y che alla RY