da Martino » 27/09/2022, 21:37
Sì, in realtà una parte è facile, l'altra è meno ovvia. Chiamando $gamma = (alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$, scambiare $alpha$ e $beta$ non ha nessun effetto su $gamma$, e la teoria di Galois di base implica immediatamente che $gamma$ è un numero razionale (cioè sta nel campo dei coefficienti del polinomio dato - se i coefficienti fossero reali, potremmo solo dire che $gamma in RR$).
Esplicitamente, se $P(X)$ è irriducibile in $K[X]$ (con $K$ campo di caratteristica zero, diciamo) e $M$ è un campo di spezzamento di $P(X)$ su $K$ (cioè generato da $K$ e dalle radici di $P(X)$ in qualche estensione) e $G$ è il gruppo degli automorfismi di $M$ che fissano ogni elemento di $K$ (il gruppo di Galois del polinomio) allora un elemento di $M$ appartiene a $K$ se e solo se è fissato da tutti gli elementi di $G$. Inoltre qualsiasi elemento di $G$ manda radici di $P(X)$ in radici di $P(X)$, cioè permuta le radici. Questo appunto si applica al caso di cui sopra.
Per dedurre che è intero bisogna osservare che $gamma = alpha^(n-1)+alpha^(n-2)beta+...+alpha beta^(n-2)+beta^(n-1)$ è un intero algebrico, cioè è radice di un polinomio monico a coefficienti interi. Questo è perché $alpha$, $beta$ sono ovviamente interi algebrici (per definizione) e somme e prodotti di interi algebrici sono interi algebrici, cioè gli interi algebrici formano un anello (cosa non ovvia).
Per finire, se un intero algebrico è razionale allora è intero (cosa non difficile).
Per lo stesso motivo anche $alpha^n+beta^n$ è sempre intero, come anche $(alpha^n+beta^n)/(alpha+beta)$.
Quindi per esempio se $r_1,r_2,...,r_k$ sono tutte le radici di un polinomio $P(X)$ monico a coefficienti interi allora $r_1^n+r_2^n+...+r_k^n$ è un intero per ogni $n$, così come qualsiasi espressione invariante per qualsiasi permutazione delle radici e ottenuta a partire da esse tramite somme e prodotti (non divisioni).
Poi stavo guardando quel caso specifico perché $(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$ sono esattamente i numeri di Fibonacci quando $P(X)=X^2-X-1$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.