In questo integrale 2D si nota che ci sono 2 addendi: quello di sinistra corrisponde ad un'area in cui $x<y$ e quindi $x/y = {x/y}$ e quindi non c'e' bisogno della sommatoria.
Per l'altro addendo invece l'integrale va discretizzato usando la sommatoria.
Ci si potrebbe chiedere se esiste l'analogo in 3D, ovvero che ci sia un'area in cui non ci sia bisogno della discretizzazione.
In realta' quest'area non c'e' perche' se mettiamo i vincoli $x<y, y<z, z<x$, ci si ritrova nella contraddizione $x<y<z<x$.
Questo semplice concetto lo si ritrova anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=224907grazie ad Alex
Se si considerano le 3 coppie di coordinate, e per ogni coordinata si considera l'opzione $>1$ oppure $<1$ (e quindi se c'e' bisogno della discretizzazione), ci si ritrova con $2^3 = 8$ combinazioni.
Come abbiamo visto, 2 di queste non sono realizzabili, ovvero:
$x<y<z<x$ e
$x>y>z>x$
e quindi si rimane con 6 combinazioni.
Le 6 combinazioni rimaste sono (e' bene esplicitarle):
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$
$x<y<z$
$y<z<x$
$z<x<y$
La cosa positiva di tutto questo e' che sembra che non ci sia bisogno di un integrale con un tripla discretizzazione, ovvero una discretizzazione per ogni asse, che avrebbe condotto ad una sommatoria tripla, che forse non sarebbe neanche risolvibile.
Sembra che non ci sia bisogno di questo, ma ci si limita ad una sommatoria doppia, che, anche se non e' certamente semplice, si puo' sperare di risolverla.
Addirittura 3 di quelle combinazioni hanno bisogno solo della discretizzazione singola e pertanto si possono ricondurre (forse) all'integrale 2D gia' scritto.
Quelle che hanno bisogno della doppia discretizzazione sono le prime 3 combinazioni:
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$