Esercizio topo-algebrico

[fu^2]

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali J∈R tali per cui se I è un altro ideale, allora I={0} o I=R.

vuoi dire, se $JsubI$ allora $I=J$ oppure $I=R$?

sisi ho scritto male... grazie

@Martino interessante la faccenda, grazie per gli spunti... Ora ci penserò su che la cosa è affascinante, non semplice però

[dissonance]

è vero, molto interessante. Se non lo fosse, a quest'ora non sarei certo qui sopra a postare la mia ultima trovata!
a parte gli scherzi, non è la dimostrazione però potrebbe essere un'idea ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se una funzione non si annulla mai, allora è elemento invertibile di $C(X)$. Si può tentare di mostrare che ($Sigma$ vuoto)$Leftrightarrow$(in $m$ c'è una funzione mai nulla)$Leftrightarrow$($m=C(X)$) e quindi che $Sigma$ non è vuoto se $m$ è proprio.
L'idea è questa: se $Sigma$ è vuoto ogni $x inX$ ha una $f in m$ t.c. $f (x)!=0$. Ognuna di queste funzioni è continua e perciò ogni punto dello spazio è contenuto in un aperto su cui una funzione di $m$ non si annulla. Essendo $X$ compatto abbiamo un ricoprimento finito {$U_1 ldots U_n$}, e un sottoinsieme finito di $m$ {$f_1 ldots f_n$} con questa proprietà.
Sicuramente (X è di Hausdorff, compatto, quindi separa i chiusi) ognuno di questi $U_i$ contiene un aperto $V_i$ t.c. le chiusure $bar V_i$ sono 2-2 disgiunte: sfoderiamo allora il lemma di Urysohn e otteniamo {$lambda_1 ldots lambda_n$} continue, $lambda_i(bar V_j)={delta_(ij)}$. La combinazione $lambda_1f_1+ldots+lambda_nf_n$è in $m$ e non si annulla sull'unione dei $barV_i$. Perché non su tutto $X$?ehm... non lo so!:roll:

ciao!

[Martino]

dissonance, sei molto vicino alla soluzione. E tra l'altro per un certo verso il tuo ragionamento assomiglia molto a quello che avevo fatto io prima di essere illuminato
Per capire meglio quello che succede sarebbe meglio "dualizzare" la definizione di spazio compatto usando i chiusi. E... non serve più usare i cannoni

[dissonance]

Finalmente il topic funziona di nuovo! Per risvegliarlo posto una possibile soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dobbiamo dimostrare che la corrispondenza $X->Specmax(X),\ x|->m_x$ è A) ben definita, B) iniettiva, C) suriettiva.

A)Le $x:C(X)->RR$ di sopra sono suriettive, quindi $C(X)//(ker x)~=RR$ e perciò tutti i $ker x=m_x$ sono ideali massimali;

B)Se $x!=y$, allora (Urysohn) esiste una funzione in $C(X)$ che si annulla in x e non in y. Perciò $m_x!=m_y$; (questo è l'unico punto in cui usiamo l'ipotesi che X sia di Hausdorff)

C)Tutti gli ideali massimali di $C(X)$ sono degli $m_x$. Per vederlo consideriamo un ideale $m$ e poniamo $Sigma=nn_(f in m) f^-1(0)$. Risulta che:

c1) Qualsiasi ideale proprio (anche non massimale) ha $Sigma$ non vuoto.
Questo perché X è compatto: infatti ($Sigma=O/$)$=>$({$f^-1(0)|f in m$} non si interseca)$=>$(esiste una famiglia finita {$f_1^-1(0), ldots, f_n^-1(0)$} che non si interseca)$=>$(in $m$ ci sono funzioni $f_1,ldots,f_n$ che non si annullano simultaneamente)$=>$($f_1^2+ldots+f_n^2 in m$ e non si annulla mai)$=>$($m$ contiene un' unità)$=>$($m=C(X)$);

c2)Se $m$ è massimale, allora preso $x in Sigma$ risulta $m sub m_x$, l'altra inclusione perché anche $m_x$ è massimale.

sperando di non aver fatto errori . Resta da verificare che questa corrispondenza è un omeomorfismo se consideriamo $Specmax(C(X))$ come sottospazio di $Spec(C(X))$ con la topologia di Zariski (grazie Martino per le spiegazioni in merito ), cioè il succo del discorso.
Infine c'è da chiarire la questione degli ideali primi, ma non massimali. A questo proposito:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Pure per questi ideali vale il fatto che $Sigma$ non è vuoto. Non è che gli ideali primi sono intersezione di ideali massimali?

[Martino]

Rieccomi! Finalmente

dissonance, naturalmente la soluzione è ineccepibile

Propongo di omettere lo spoiler se non si parla esplicitamente della soluzione del problema che ho postato

(notare il climax di frasi e di faccine .................................................................................................................................... )

Non è che gli ideali primi sono intersezione di ideali massimali?

Non so, ne dubito: per esempio un'intersezione finita di ideali massimali non è in generale un ideale primo dato che se per esempio $m_1$ e $m_2$ sono massimali e distinti allora $m_1 nn m_2 = m_1m_2$. Quindi se $a_1 in m_1-m_2$ e $a_2 in m_2-m_1$ allora $a_1a_2 in m_1m_2$ ma $a_1$ e $a_2$ non stanno in $m_1m_2$ perché $m_1m_2 = m_1 nn m_2$.
Resterebbe da vedere se è possibile scrivere un ideale primo come intersezione infinita di ideali massimali. Ma a cosa ti servirebbe questo esattamente?

[dissonance]

beh no non ho un'idea precisa... giusto per vedere di fare entrare gli ideali primi nel quadro! In fondo anche il fatto che, semplicemente pensando X compatto, gli ideali propri di C(X) hanno degli zeri comuni a tutti i loro elementi mi pare interessante. Comunque ci penserò nei prossimi giorni (si sarà capito che sono uno studente ... beh domani ho un esame! ). buonanotte!

[Martino]

beh no non ho un'idea precisa... giusto per vedere di fare entrare gli ideali primi nel quadro! In fondo anche il fatto che, semplicemente pensando X compatto, gli ideali propri di C(X) hanno degli zeri comuni a tutti i loro elementi mi pare interessante. Comunque ci penserò nei prossimi giorni (si sarà capito che sono uno studente ... beh domani ho un esame! ). buonanotte!

Facci sapere come è andata a che anno sei per curiosità?

Intanto propongo un nuovo problema (legato a quello di partenza): per quali anelli $A$ lo spazio topologico $Specmax(A)$ è compatto e di Hausdorff? E inoltre: per quali anelli $A$ l'anello $C(Specmax(A))$ è isomorfo ad $A$?

Ok io le ho buttate lì, ci rifletterò sperando di trovare qualcosa.

[NightKnight]

Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

Hai scoperto qualcosa in merito?

[Martino]

Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

Hai scoperto qualcosa in merito?

Sì, è un omeomorfismo. Ti interessava la dimostrazione? Se non ricordo male non ci sono idee particolari per procedere (se non quel lemmino che dice che una funzione continua biiettiva da un compatto ad un hausdorff è un omeomorfismo).

[NightKnight]

Sì, è un omeomorfismo. Ti interessava la dimostrazione? Se non ricordo male non ci sono idee particolari per procedere (se non quel lemmino che dice che una funzione continua biiettiva da un compatto ad un hausdorff è un omeomorfismo).

Il lemmino che citi lo conosco.
Inoltre credo di aver dimostrato che la mappa è continua.

Ma non capisco perché lo spettro massimale $m-Spec(A)$ dell'anello $A=C(X,RR)$ delle funzioni continue da $X$ a $RR$ dovrebbe essere di Haussdorff.