[EX] Punto singolare sul bordo del cerchio di convergenza

[yellow]

Beh grazie alla disattenzione di partenza è uscito un topic interessante, anche io dentro di me confondevo un po' i due concetti.

[Seneca]

Ci ho ripensato un po'. In effetti la definizione della classe delle funzioni olomorfe è sempre data in relazione ad un aperto del piano complesso. Un elemento analitico è una funzione olomorfa nei punti interni al cerchio di convergenza; i punti del bordo non sono punti interni e anche se la serie convergesse in qualcuno di questi punti, non avrebbe senso domandarsi se la funzione è ivi derivabile in senso complesso.

Per questi punti di frontiera, quindi, viene comodo usare un'altra definizione (che è quella che ha ricordato maurer).

Vi sembra corretto?

[maurer]

Sì. Se ci pensi è quello che si fa solitamente, ad esempio, in geometria differenziale. Una funzione è differenziabile su un chiuso (ad esempio), se per ogni punto esiste un intorno aperto nello spazio globale ed un'estensione differenziabile della funzione che stai considerando a tale aperto.

[yellow]

Ma è possibile che in certe zone oltre il raggio di convergenza continui a valere la stessa espressione in serie di potenze?
A me in ogni caso la sottigliezza che ha colpito è il fatto che la funzione possa non essere prolungabile olomorficamente attorno a un punto anche se in quel punto la serie di potenze è convergente (esempio di paolo + dimostrazione di maurer).

[maurer]

E' sorprendente, sì, soprattutto perché fa sorgere la domanda: ma allora, qual è l'ostruzione che non stiamo vedendo?

[Seneca]

E' sorprendente, sì, soprattutto perché fa sorgere la domanda: ma allora, qual è l'ostruzione che non stiamo vedendo?

Ottima domanda.

[maurer]

Ma, in fondo, ho anche già accennato ad una risposta:

L'arcano sta nel fatto che la "geometria" associata alla tua serie è più complessa di quello che sembra e, anzi, è un esempio che mi fa pensare un sacco. Tu puoi estendere sempre una funzione olomorfa (ad esempio, una serie di potenze) in modo, diciamo, "illimitato". Il problema è che salta fuori che alcune funzioni non possono essere definite su \( \displaystyle \mathbb C \) ; la cosa sorprendente è che la loro struttura analitica determina completamente la geometria del luogo dove si va ad estendere (e questo è un giro di parole poco elegante per evitare di dire superficie di Riemann). Ad esempio, lo sviluppo in serie del logaritmo determina automaticamente il famoso elicoide! Sorprendente, vero?!

Il quadro viene poi completato dal teorema di monodromia. In sostanza, la funzione olomorfa si espande su una superficie di Riemann \( \displaystyle X \) e questa superficie arriva con un biolomorfismo locale \( \displaystyle X \to \mathbb C \) (infatti, è un rivestimento sull'immagine).