Equazione complessa

[axpgn]

Ho trovato questo esercizio e l'ho risolto, credo correttamente , ma mi piacerebbe sapere come avreste fatto voi

Mostra che l'uguaglianza $|z_2-z_1|^2=|z_2-z_0|^2+|z_1-z_0|^2$ implica $z_2-z_0=ilambda(z_1-z_0)$ dove $lambda$ è un numero reale e viceversa.


Cordialmente, Alex

[Mathita]

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Se è vera l'uguaglianza, allora vuol dire che nel piano di Argand Gauss i numeri complessi $z_0,z_1,z_2$ individuano un triangolo rettangolo in $z_0$: è praticamente il teorema di Pitagora.

Segue pertanto che i vettori $z_1-z_0$ e $z_2-z_0$ sono perpendicolari: detti $\theta_1,\theta_2$ i loro argomenti, rispettivamente, e $\rho_1,\rho_2$ i loro moduli, si ha che $\theta_2-\theta_1 = \pi/2$ (vedi nota) e quindi:

$z_2-z_0 =\rho_2(\cos(\theta_2) +i\sin(\theta_2))= $

$=\rho_2(\cos(\theta_1+pi/2) +i\sin(\theta_1+pi/2))=$

$=\rho_2(-\sin(\theta_1) +i\cos(\theta_1))=$

Moltiplico e divido per $i\rho_1\ne 0$

$=\frac{\rho_2} {i\rho_1}\rho_1(-\cos(\theta_1) - i\sin(\theta_1))=$

$=\frac{\rho_2}{\rho_1}i (z_1-z_0)$.

Posto $\lambda=\frac{\rho_2}{\rho_1}$, ottengo l'uguaglianza richiesta.

Nota. Avrei dovuto scrivere la dimostrazione richiedendo che $\theta_2-\theta_1=pi/2+k pi$ con $k$ intero, però ho preferito ragionare con il caso particolare: la generalizzazione è ovvia.

[Edit]: Chiaramente sono curioso di sapere la tua soluzione, axpgn.

[axpgn]

Avrei dovuto aggiungere che va risolto usando solo la forma algebrica dei numeri complessi
($a+ib$), niente forme trigonometriche o esponenziali, tantomeno il piano di Argand-Gauss
È un esercizio del primo capitolo anzi delle prime pagine

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Questa è cattiveria.

[dan95]

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($\Rightarrow$)

Supponiamo che $z_2,z_1 \ne z_0$ (caso banale) e
poniamo

$v:=z_2-z_0$

$w:=z_1-z_0$

Allora

$|v-w|^2 = |v|^2+|w|^2$

Sia $q:=v/w$ allora

$|q-1|^2=|q|^2-2\Re(q)+1=|q|^2+1$

da cui

$\Re(q)=0 \Rightarrow q=i\lambda$

($\Leftarrow$)

Basta fare un semplice verifica di calcoli.

[axpgn]

Io penso di aver dimostrato il "viceversa" , in modo simile a quello di dan ma più raffazzonato

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Pongo $H=z_2-z_0$ e $K=z_1-z_0$.

Assunta per vera $ z_2-z_0=ilambda(z_1-z_0) \-> H=ilambdaK$, riscrivo la prima così

$ |(z_2-z_0)-(z_1-z_0)|^2=|z_2-z_0|^2+|z_1-z_0|^2 $ e sostituisco

$ |H-K|^2=|H|^2+|K|^2\ \ \ ->\ \ \ |ilambdaK-K|^2=|ilambdaK|^2+|K|^2$

$ |K(ilambda-1)|^2=|i|^2|lambda|^2|K|^2+|K|^2$

$ |K|^2|ilambda-1|^2=1*lambda^2*|K|^2+|K|^2$

$ |K|^2*(lambda^2+1)= |K|^2*(lambda^2+1)$

Cordialmente, Alex

[dan95]

Sì Alex hai dimostrato l'implicazione $\Leftarrow$

[Mathita]

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Mannaggia, ho trovato la soluzione stamattina in metro e coincide con quella di dan!

[axpgn]

Bene, bravi!

[hydro]

Sì Alex hai dimostrato l'implicazione $\Leftarrow$

Che peraltro è esattamente il teorema di Pitagora...