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Sull'asse $x$ di un piano cartesiano siano disposti $2n$ punti in modo simmetrico rispetto all'origine $O$.
Senza perdere di generalita', si pone il punto $P$ esterno all'asse $x$ in $(0,1)$.
Il punto $A_1$ piu' vicino all'origine dei $2n$ punti si trova a una distanza $k$ minore di $1$ dall'origine stessa sul semiasse positivo ($0<k<1$).
I punti sono disposti inoltre in modo che le distanze $A_n A_{n-1} = A_{n-1}P$ in modo da formare triangoli isosceli con angolo ottuso.
In questo modo si formano i primi $3n-2$ triangoli isosceli.
Il secondo punto $A_2$ sara' a una distanza dall'origine $k+\sqrt (1+k^2) > 1$, come segue dalla costruzione precedente.
Ne consegue che nell'intervallo $[0,1]$ c'e' solo il punto $A_1$, come c'e' solo il punto $B_1$ nell'intervallo $[-1,0]$ a causa della simmetria.
Quindi si consideri il generico punto $A_n$ e si consideri il triangolo isoscele $An, P, Q$ con $Q$ sull'asse $x$ in modo che $\hat {P,An,Q}$ sia un angolo acuto e $A_nP = A_nQ$.
Si noti che $A_nO < A_nQ$ siccome $A_nQ = A_nP = \sqrt (1+(A_nO)^2)$, quindi il punto $Q$ sara' a sinistra dell'origine.
Si noti anche che $Q$ e' compreso nell'intervallo $[-1,0]$, siccome $A_nQ = A_nP < A_nO +1 $ (disuguaglianza triangolare).
Se $k$ (e di conseguenza $B_1$) sono fissati in modo che $Q = B_1$, ovvero che siano sovrapposti, sia ha che il triangolo $A_n, B_1, P$ e' isoscele.
A causa della simmetria, anche $B_n, A_1, P$ e' isoscele.
Non e' possibile ottenere altri tr. isosceli in questo modo siccome non ci sono altri punti $B_n$ nell'intervallo $[-1,0]$ oltre a $B_1$.
Cio' aggiuunge altri due triangoli isosceli al conto di $3n-2$ portando il totale a $3n$.
Con $n=50$, ovvero $100$ punti, si avranno $150$ tr. isosceli.
Senza perdere di generalita', si pone il punto $P$ esterno all'asse $x$ in $(0,1)$.
Il punto $A_1$ piu' vicino all'origine dei $2n$ punti si trova a una distanza $k$ minore di $1$ dall'origine stessa sul semiasse positivo ($0<k<1$).
I punti sono disposti inoltre in modo che le distanze $A_n A_{n-1} = A_{n-1}P$ in modo da formare triangoli isosceli con angolo ottuso.
In questo modo si formano i primi $3n-2$ triangoli isosceli.
Il secondo punto $A_2$ sara' a una distanza dall'origine $k+\sqrt (1+k^2) > 1$, come segue dalla costruzione precedente.
Ne consegue che nell'intervallo $[0,1]$ c'e' solo il punto $A_1$, come c'e' solo il punto $B_1$ nell'intervallo $[-1,0]$ a causa della simmetria.
Quindi si consideri il generico punto $A_n$ e si consideri il triangolo isoscele $An, P, Q$ con $Q$ sull'asse $x$ in modo che $\hat {P,An,Q}$ sia un angolo acuto e $A_nP = A_nQ$.
Si noti che $A_nO < A_nQ$ siccome $A_nQ = A_nP = \sqrt (1+(A_nO)^2)$, quindi il punto $Q$ sara' a sinistra dell'origine.
Si noti anche che $Q$ e' compreso nell'intervallo $[-1,0]$, siccome $A_nQ = A_nP < A_nO +1 $ (disuguaglianza triangolare).
Se $k$ (e di conseguenza $B_1$) sono fissati in modo che $Q = B_1$, ovvero che siano sovrapposti, sia ha che il triangolo $A_n, B_1, P$ e' isoscele.
A causa della simmetria, anche $B_n, A_1, P$ e' isoscele.
Non e' possibile ottenere altri tr. isosceli in questo modo siccome non ci sono altri punti $B_n$ nell'intervallo $[-1,0]$ oltre a $B_1$.
Cio' aggiuunge altri due triangoli isosceli al conto di $3n-2$ portando il totale a $3n$.
Con $n=50$, ovvero $100$ punti, si avranno $150$ tr. isosceli.
