Una relazione...complicata

[ciromario]

Nel triangolo ABC la mediana AD interseca la bisettrice interna CE nel punto F. Dimostrare che è :
${CF}/{FE}={BC}/{AC}+1$
P.S. Malgrado la sua apparente semplicità, la relazione cela una difficoltà non propriamente lieve. La sfida è aperta!

[renatino]

Prolunghiamo BC ( da banda opposta a B rispetto a C) di un segmento CG=AC e congiungiamo G con A.
E' abbastanza agevole verificare che AG è parallelo ad EC.
Dalla similitudine dei triangoli ABG ed EBC risulta :
EC:AG=BC:BG
da cui:
$EC={AG\cdot BC}/{BG}$
Indi, dalla similitudine di ADG e FDC, abbiamo:
FC : AG=DC:DG
da cui :
$FC={AG\cdot DC}/{DG}$
Dividendo otteniamo:
${EC}/{FC}= {BC\cdotDG}/ {DC\cdot BG} $
Con le usuali notazioni per i triangoli si ricava :
${EC}/{FC}={a(a/2+b)}/{a/2(a+b)}={a+2b}/{a+b}=1+{b}/{a+b}$

${EC}/{FC}-1={b}/{a+b}$

${EF}/{FC}=b/{a+b}$

${CF}/{FE}={a+b}/b=a/b+1={BC}/{AC}+1$

E speriamo bene...