Distanze Intere

[Pachisi]

Propongo un problema (probabilmente molto facile):

Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un punto sul cerchio inscritto nel quadrato. E` possibile che le distanze $ \overline{PA} $, $ \overline{PB} $, $ \overline{PC} $, $ \overline{PD} $ e $ \overline{AB} $ siano tutte intere?

[Erasmus_First]

Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un punto sul cerchio inscritto nel quadrato. E` possibile che le distanze $ \overline{PA} $, $ \overline{PB} $, $ \overline{PC} $, $ \overline{PD} $ e $ \overline{AB} $ siano tutte intere?

Cosa intendi con "un punto sul cerchio inscritto"? Il punto P deve stare sulla circonferenza o può essere anche interno?

Inoltre, suppongo che tu, dicendo "intere", intenda un punto P tale che le quattro distanze PA, PB, PC e PD siano commensurabili (tra loro).
O devono invece essere commensurabili anche con il lato del quadrato?
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[Pachisi]

Scusami per non essere stato chiaro.

Il punto $ P $ deve stare sulla circonferenza, quindi non puo` essere interno.
Con "intere" intendo che la loro lunghezza deve essere un numero intero (Eg: $ 3 $ e non $ 3,5 $).

[Erasmus_First]

Quindi il lato del quadrato (cioè il diametro del cerchio inscritto) può essere "non intero", in partricolare nemmeno razionale.
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Con queste condizioni è abbastanza facile trovare due distanze intere.
Trovarne tre ... o è impossibile o è troppo difficile per me!

Congetturo che trovarne quattro sia impossibile.
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[Pachisi]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Essatto, e` impossibile.
Magari metti una tua dimostrazione o un tuo ragionamento?
La diagonale del quadrato e` il diametro del cerchio, o sbaglio?
Il lato del quadrato deve essere intero.

[vict85]

Essatto, e` impossibile.
Magari metti una tua dimostrazione o un tuo ragionamento?
La diagonale del quadrato e` il diametro del cerchio, o sbaglio?
Il lato del quadrato deve essere intero.

Erasmus_First stava solo cercando di comprendere il problema dato che il concetto di lunghezza negli spazi euclidei classici non è univocamente definito, ma si può solo definire in rapporto ad un qualche segmento di riferimento. Non aveva però notato che aveva messo \(\displaystyle AB \) nella lista di lunghezze intere.

Pertanto, come ha affermato Erasmus_First, il problema si traduce nel chiedere se esistono numeri razionali tali che \(\displaystyle PA = r_1AB \), \(\displaystyle PB = r_2AB \), \(\displaystyle PC = r_3AB \), \(\displaystyle PD = r_4AB \). Infatti se questi numeri esistono allora è possibile creare un sistema di riferimento in cui queste lunghezze sono intere.

Ti invito ad approfondire meglio questo aspetto.


Detto questo. Hai scritto cerchio inscritto e non circoscritto. Quindi la diagonale del quadrato è il lato del quadrato, non il suo diametro.

[Erasmus_First]

Quindi la diagonale del quadrato è il lato del quadrato, non il suo diametro.

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[vict85]

Quindi la diagonale del quadrato è il lato del quadrato, non il suo diametro.

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Ops. Intendevo dire che il diametro del cerchio coincide con il lato del quadrato e non con la diagonale del quadrato come invece detto da Pachisi. Comunque il problema è penso impossibile sia nel caso di cerchio inscritto che circoscritto.

[Pachisi]

Giusto, mi sono confuso io con il cerchio circoscritto.
Comunque, si, e` impossibile.