Diofantea Bocconi

[robbstark]

Uno degli esercizi Bocconi di quest'anno (cui non ho partecipato) portava a dovere risolvere la seguente equazione diofantea:
$ab + bc + ca - (a+b+c) + 1 = (abc)/2$, $a,b,c>0$
Pur avendo trovato tutte le soluzioni (almeno credo), sarei curioso di vedere se ci sono metodi più intelligenti/brevi per risolverla.

[Zero87]

Quando ho letto il tuo post mi si è acceso un led lampeggiante nella testa "equazione di terzo grado... equazione di terzo grado... equazione di terzo grado..." ma sono tre giorni che ci penso e non ne vengo a capo. Intanto lo uppo, poi magari passa qualcuno che risponde e mi tolgo questo cruccio dalla mente... oppure mi viene l'illuminazione!

[xXStephXx]

Non so se viene particolarmente bene. Da $1/2 = (1-1/a)(1-1/b)(1-1/c)$ si vede che una delle 3 variabili, supponiamo $a$, può valere solo $3$ o $4$. Fissato $a$ è facile trovare tutte le soluzioni in $b$ e $c$.

[robbstark]

Bella soluzione! Io mi ero limitato ad osservare che un numero, per esempio $a$, doveva essere pari, quindi sostituivo i vari numeri pari ad $a$, e cercavo soluzioni per $b$ e $c$. Oltre ad essere più rozzo e lungo da applicare, non avevo trovato modo di accertarmi che non ci fossero altre soluzioni oltre a quelle trovate, mentre con questo ragionamento è piuttosto chiaro.

[Zero87]

Uff, pensavo ci si servisse delle relazioni tra le radici di un polinomio di terzo grado in una variabile ma evidentemente mi sbagliavo.

[j18eos]

@xXStephXx Non mi trovo coi segni!

[xXStephXx]

ma saranno giusti, sennò non ci sarebbero soluzioni!

[j18eos]

Faccio i calcoli (I parte):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\[
ab+bc+ca-(a+b+c)+1=\frac{abc}{2}\\
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+\frac{1}{abc}=\frac{1}{2}\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}=\frac{1}{2}\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)-1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}=\frac{1}{2}-1\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)-\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=-\frac{1}{2}\\
\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=-\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left[1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\left(1-\frac{1}{b}\right)\right]=\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\left(1-\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}
\]
e continuo lo stesso a non trovarmi coi segni.

Faccio i calcoli (II parte):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

se fosse \(\displaystyle a=1\) verrebbe \(\displaystyle0\) a sinistra: assurdo; per \(\displaystyle a=2\) si avrebbe che:
\[
\left(1-\frac{1}{b}\right)\left(1-\frac{1}{c}\right)=1
\]
e le soluzioni intere (che esistono) non sono entrambe positive.
Quindi dev'essere \(\displaystyle a\geq3\).

...e poi basta.

[xXStephXx]

La trollata penso stia nel fatto che moltiplicando tutto per $abc$, da una parte ottieni proprio ${abc}/2$ e dall'altra tutti i segni scambiati, ma tra quelli c'è pure un addendo $abc$ che fa quadrare il conto

[giammaria]

Non capisco quale problema abbia j18eos con i segni: ha ottenuto la stessa equazione di xXStephXx, a parte lo scambio fra i due membri.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Proseguo da
$(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c)=1/2$
In media i tre fattori valgono $root(3)(1/2)=0.7937$, quindi almeno uno deve essere inferiore a questo valore. Supponendo che sia il primo, da
${(1-1/a<0.7937),(a in N_+):}$ ricavo $a<=4$
che, unito al già trovato $a>=3$, indica come uniche soluzioni $a=3vva=4$.

Per $a=3$ la diofantea diventa
$(1-1/b)(1-1/c)=3/4$
Ripetendo il ragionamento per il valore medio dei due fattori trovo $b<=7$; per tentativi arrivo alle terne $(3,5,16), (3,6,10), ( 3,7,8)$.

Analogamente $a=4$ porta alle terne $(4,4,9), (4,5,6)$.