spiegazione quesiti olimpiadi di matematica

[Marina57]

salve sono nuova del forum, volevo chiedervi una mano nel risolvere questi esercizi più che il risultato sarebbe gradita una spiegazione dei vari procedimenti grazie in anticipo vi elenco i problemi che tanto mi hanno fatto disperare.
A me interessava capire soprattutto i nuemeri 1,2,3,4,5,6,(di entrambi) e il numero 7,8,9,11,13 della semifinale A.
Grazie a tutti.


http://www.fairmath.it/public/2015/cese ... o_2015.pdf

[Vulplasir]

Ora non ho tempo di guardarli tutti ma il $7$ della semiA così a prima vista mi sembra una somma telescopica, infatti $1/(s^2-1)=1/((s+1)(s-1))=1/2(1/(s-1)-1/(s+1))$.
Dato che $s$ assume solo valori pari possiamo scrivere $s=2k$ e calcolare la somma $sum_(k=1)^(1007)1/(4k^2-1)$. Per quanto detto prima ogni termine si può scrivere come $1/2(1/(2k-1)-1/(2k+1))$
Calcoliamo i primi termini e vediamo come si eliminano a vicenda:

$1/2(1/(2-1)-1/(2+1)+1/(4-1)-1/(4+1)+1/(6-1)-1/(6+1)+...-1/(2014+1))$
Tutti i termini intermedi si eliminano a vicenda e rimangono sono il primo e l'ultimo, il tutto moltiplicato per $10.000$ fa:
$10.000/2(1-1/2015)=5.000*2014/2015$, la cui parte intera è $4997$.

[robbstark]

Per quanto riguarda il primo della semifinale A, procedo empiricamente:
il primo cerchio divide il piano in 2 parti;
il secondo cerchio divide ciascuna di queste 2 parti in 2 parti, quindi in totale si avranno 4 parti;
il terzo cerchio interseca solo 3 delle 4 parti, quindi in totale si avranno 7 parti;
per i cerchi successivi diventa difficile da capire, a meno di non fare il disegno con il compasso, ma può restare il dubbio che il numero di parti dipenda dal cerchio che si disegna.
Intuitivamente, un modo per essere sicuri di massimizzare il numero di parti che un cerchio interseca è ruotarlo di pochissimo rispetto al precedente, attorno al punto comune a tutti. Quindi ripeti il disegno disegnando il secondo cerchio di poco ruotato rispetto al primo, poi il terzo di poco rispetto al secondo, e cosí via. Si noterà che mentre il terzo cerchio interseca tutte le parti tranne 1, il quarto non ne interseca 3 (=1+2), il quinto 6 (=1+2+3), ecc. Questo ragionamento conduce alla successione definita per ricorrenza:
$a_n = 2 a_{n-1} - \frac{(n-1)(n-2)}{2}$, con $a_1 = 2$
Teoricamente potremmo calcolare i primi 49 termini per rispondere alla domanda, ma è un po' lungo come metodo. Cominciamo col calcolare i primi termini per vedere se troviamo una formula chiusa:
$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 7$, $a_4 = 11$, $a_5 = 16$, $a_6 = 22$, $a_7 = 29$, ...
Osserviamo che $a_n = a_{n-1} + n$, che è un'altra formula di ricorrenza (andrebbe dimostrata, ma per i nostri scopi non serve). Infatti, ci serve solo a intuire che l'espressione chiusa è data dalla formula per i numeri triangolari (somma dei primi $n$ naturali) + una costante iniziale, con un paio di conti si trova:
$a_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$
A questo punto, per essere rigorosi, si potrebbe dimostrare per induzione che questa equazione genera la stessa successione definita dalla prima formula di ricorrenza (ma ovviamente non è necessario per la gara a squadre).
Una volta trovata questa formula, basta sostituire $n=49$ per ottenere la risposta al quesito.

[robbstark]

Per il secondo quesito della semifinale A:

Tanto per fissare le idee immaginiamo di avere un numero di 3 cifre in base 7 (ovviamente il numero non può avere meno di 3 cifre). Sia questo numero $abc$ in base 7, ovvero:
$49a + 7b + c = 245(a+b+c)$
$245$ è multiplo di $49$, quindi il secondo membro è multiplo di $49$, allora lo deve essere anche il primo, per cui $b=c=0$. Questa conclusione sarebbe valida anche se il numero avesse più di 3 cifre. In questo caso viene fuori $49a = 245a$, che è assurdo.

Proviamo allora con un numero di 4 cifre: $ab00$.
Svolgendo i calcoli dovresti ottenere che $a=2b$. Si hanno quindi 3 soluzioni, per $a=1,2,3$. (Notare che le cifre $a$ e $b$ sono in base 7, quindi non possono essere più alte di $6$.

Proviamo adesso con un numero di 5 cifre: $abc00$.
Se ho fatto bene i conti, viene fuori $22a + b = 2c$, che palesemente non ha soluzioni per $a>0$, perchè il primo membro sarebbe più alto del secondo in ogni caso. Non ci sono dunque soluzioni a 5 cifre in base 7, a maggior ragione non ci sono soluzioni con più cifre.

Resta da calcolare la somma dei numeri a 4 cifre che soddisfano la condizione.

[Vulplasir]

Il $3$ della semiA non è nient'altro che un calcolo di volume e di equivalenze tra centimetri cubi e litri. Che i calcoli siano rognosi da fare a mano è un altro conto. il $5$ della semiA con un po' di trigonometria si fa al volo. Il $6$ idem, non è altro che la somma delle aree di tanti quadrati di cui sai il lato e di triangoli isosceli con angoli al vertice notevoli di $30°$ o $120°$...insomma almeno i primi sono abbastanza facili, ma almeno hai provato a farli prima di chiedere aiuto qua?

[Marina57]

grazie mille mi avete chiarito un bel po' di cose!