SNS 1962-63, n. 2 (triangolo isoscele)

[giammaria]

Mi era stato chiesto qualche esercizio sulle costruzioni geometriche, ed eccone uno. Rivolgo però una preghiera ai più abili: se risolvete l'esercizio in pochi minuti, era evidentemente troppo facile per voi. In questo caso lasciate la precedenza a chi da poco si accosta a questi problemi e mandate la vostra risposta solo se non ce ne sono state altre in un tempo ragionevole (direi due o tre giorni) o se ce ne sono state ma diverse dalla vostra.

E' dato un circolo di raggio r. Determinare un triangolo isoscele che sia circoscritto al circolo e sia tale che la differenza tra uno dei lati uguali e la metà della base sia d. Si preferisce la soluzione puramente geometrica.

[ciromario]

Certo che 50 anni non passano invano. Oggi un problema così non lo darebbero mai ...

[xXStephXx]

Certo che 50 anni non passano invano. Oggi un problema così non lo darebbero mai ...

Eppure proprio quest'anno si è visto di altrettanto....

[ciromario]

Non conosco i temi di quest'anno. Spero proprio che non siano veramente simili a questo... Non sarebbe certamente istruttivo visto che è come chiedere di calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo conoscendone i cateti !
Ma forse è questo il livello possibile della Scuola italiana, se dopo circa 12 ore non c'è stato uno straccio di risposta

[xXStephXx]

In realtà il livello era salito parecchio. Solo l'ultimo anno fa eccezione.

eccone uno:
[ot] ABCD è un quadrilatero convesso tale che ogni diagonale lo divide in due triangoli con la stessa area tra loro. Dimostrare che è un parallelogramma.[/ot]

Per quanto riguarda questa sezione... Secondo me si trova nel posto sbagliato... Quelli davvero interessati non vengono qua.

[ciromario]

Quindi è l'anno in questione che fa eccezione. Volevo ben dire... Quanto agli interessati, non ne vedo tanti, anche in altre sezioni, che siano attratti (ove sia possibile) dalla geometria sintetica . Ed è un vero peccato ! Risolvere a macchinetta i problemi, con montagne di incognite ed altrettante equazioni, non è il miglior modo di allenare la mente al pensiero scientifico. Ma forse è solo una mia sbagliatissima opinione !

[ciromario]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[giammaria]

Aggiungo un'altra dimostrazione per il problema del quadrilatero.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poiché ABC e ACD hanno la stessa area e la stessa base AC, hanno anche la stessa altezza: quindi B e D stanno su due parallele ad AC equidistanti da essa. Analogamente A e C stanno su due parallele equidistanti da BD. Queste quattro parallele formano un parallelogramma di cui, per l'equidistanza, A, B, C, D sono i punti medi dei lati ed un teorema afferma che congiungendo i punti medi dei lati di un quadrilatero si ottiene un parallelogramma.

Vorresti indicare anno e numero di questo problema? Inoltre, ad evitare confusioni, suggerirei che altri problemi di questo tipo siano discussi a parte.

[xXStephXx]

Era il 2012-13 n.5
Woow ecco come depistare totalmente un thread

A questo punto mettiamo anche la soluzione del problema originale (scritta alla tanto per...)
In pratica siccome mandando le due tangenti da un punto esterno, alla circonferenza, si formano due segmenti di uguale lunghezza (con il punto di tangenza), si ha che la differenza tra il lato obliquo e metà della base è proprio uguale alla distanza che c'è tra il vertice opposto alla base e il punto di tangenza. Quindi basta tracciare una tangente e prendere un punto che dista $d$ dal punto di tangenza. Poi si traccia l'altra tangente. A questo punto si traccia la retta passante per il vertice e il centro del cerchio che è bisettrice/altezza/mediana fino ad incontrare la circonferenza nel punto che corrisponde a metà della base. Una volta fatto ciò, si traccia la tangente in quel punto e si ottiene la base del triangolo.

[ciromario]

Se la richiesta è fatta a me allora rispondo che il problema l'ha indicato xxStephxx. Per il resto vedo che anche un altro ha proposto una soluzione del problema sul quadrilatero: confusione su confusione !