Troppo ...facile !

[giammaria]

Giungo alla stessa conclusione di milizia96 con un altro ragionamento. Fissa la lunghezza dei lati, facciamo variare la diagonale dal valore minimo possibile a quello massimo: aumentano sia $alpha$ che $beta$, quindi $alpha+beta$ è una funzione crescente e può assumere un'unica volta il valore $pi$.
Con lo stesso ragionamento si può anche dimostrare che può veramente assumerlo: è facile vedere che con diagonale minima si ha $alpha+beta<pi$ mentre con diagonale massima si ha $alpha+beta>pi$.

[ciromario]

@Milizia
Sull'unicità del quadrilatero di area massima mi hai pienamente convinto.
Complimenti !

[xXStephXx]

Come conseguenza di quello che è stato detto si può risolvere anche questo:
Dati $n$ e $k$, si vuole costruire un poligono di $n$ lati avente perimetro $k$. Le misure di tutti i lati possono essere scelte a piacimento (a patto che il perimetro sia $k$). Qual è il poligono di area massima ottenibile in questo modo?

[gugo82]

Lo \(n\)-agono regolare di perimetro \(k\)... Come è noto fin dai tempi di Zenodoro, se non erro (cfr. T. L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, Dover).

[xXStephXx]

Wow Si è quello xD