Divisibilità

[axpgn]

Se $n$ è un intero maggiore di $1$, provare che $n^(n-1)-1$ è divisibile per $(n-1)^2$.


Cordialmente, Alex

[dan95]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Abbiamo che

$n^(n-1)-1=(n-1)(n^(n-2)+n^(n-3)+\cdots+n+1)=(n-1)[(n-1+1)^(n-2)+(n-1+1)^(n-3)+\cdots+n-1+1+1]$

Sviluppando i binomi con Newton del secondo fattore abbiamo

$(n-1+1)^(n-2)+(n-1+1)^(n-3)+\cdots+n-1+1+1=k(n-1)+n-1$

Per qualche intero $k$ da cui la tesi.

[axpgn]

Cordialmente, Alex