$100+1$

[axpgn]

Dati cento punti su una retta ed un punto non appartenente ad essa, quanti sono, al massimo, i triangoli isosceli che si possono formare con tali punti?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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148 ?

[axpgn]

No.

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Peraltro anch'io arrivo "facilmente" a $148$ ma non è la risposta giusta

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

No.

Lo sapevo che era troppo facile.
Comunque penso di aver capito dove sono gli altri.

[dan95]

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Pure i triangoli isosceli con lato di lunghezza nulla (degeneri) sono da considerarsi?

[axpgn]

No.

[giammaria]

224?

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Considero la retta come asse x, con origine O nel piede del punto P esterno ad essa; pongo $PO=h$.
Per avere il massimo numero di triangoli isosceli con vertice P, devono esserci 50 punti $A_i$ con $x_i>0$ ed i 50 punti $B_i$ loro simmetrici rispetto ad O.
Faccio un primo giro segnando $A_1$ e $B_1$.
Faccio un secondo giro aggiungendo i 4 punti che li rendono vertici di due triangoli isosceli ciascuno. Noto che per ottenerlo con due punti $A_i,B_i$ occorrono sempre 2 punti di tipo A (cioè $+-x_i+sqrt(x_i^2+h^2)$) e 2 di tipo B (a segni cambiati). Nel nostro caso aggiungiamo quindi 2 punti A, arrivando ad $A_3$. Idem per i punti B, che nel seguito sottintenderò.
Faccio un terzo giro aggiungendo i punti necessari per rendere vertici i punti aggiunti nel giro precedente; questa volta devo aggiungere 4 punti A, giungendo ad $A_7$.
Continuo così finché, giunti ad $A_31$, dovrei aggiungere altri 32 $A_i$. Ne ho però solo $50-31=19$ e me ne mancano $32-19=13$, quindi riesco a formare 13 triangoli isosceli meno del desiderato.
Se tutte le $A_i$ fossero vertici di due triangoli isosceli, questi sarebbero 100; ne ho 13 in meno, quindi ne ho 87. Ci sono poi gli 87 con vertice $B_i$ ed i 50 con vertice P: in tutto $87*2+50=224$.

Osservazione. La soluzione data presuppone che tutti i punti siano distinti, ma questo è certo ottenibile. Infatti due punti possono coincidere solo se ci sono due distinti valori $i,j$ tali che $x_i=x_j$, cioè solo se $x_1$ è soluzione di un'equazione di questo tipo ($x_i,x_j$ sono esprimibili in funzione di $x_1$). Ma queste equazioni sono in numeri finito, con un numero finito di soluzioni; basta quindi dare ad $x_1$ uno uno degli infiniti valori diversi dalle soluzioni.
Inoltre nessuno dei triangoli considerati deve essere equilatero,ma anche questo è facilmente ottenibile.

[axpgn]

No (perché la risposta ufficiale è diversa )

Però voglio studiarmi per bene la tua soluzione

[giammaria]

Credo di aver trovato l'errore, ma correggendolo arrivo al 148 di Quinzio, Evidentemente occorre qualcos'altro.

[axpgn]

Dove parli di $50 A$ in un punto e di $100 A$ in un altro?