Radice quarta

[axpgn]

Dimostrare che la parte intera della radice quarta del prodotto di otto interi positivi consecutivi è uguale a $n^2+7n+6$, dove $n$ è l'intero minore.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Se $n^2+7n+6$ e' la parte intera, il problema chiede di verificare che

$(n^2+7n+6)^4 < \prod_{i=0}^7 (n+i)<(n^2+7n+7)^4$

Questi sono i coefficienti di $(n^2+7n+6)^4$, ordinati da $n^8$ a scendere
1 28 318 1876 6145 11256 11448 6048 1296
Questi sono i coefficienti di $(n^2+7n+7)^4$, ordinati da $n^8$ a scendere
1 28 322 1960 6811 13720 15778 9604 2401

Viceversa i coefficienti di $\prod_{i=0}^7 (n+i)$ sono
1 28 322 1960 6769 13132 13068 5040 0

Sovrapposti e riordinati, si vede che la disequazione e' verificata
1 28 318 1876 6145 11256 11448 6048 1296
1 28 322 1960 6769 13132 13068 5040 0
1 28 322 1960 6811 13720 15778 9604 2401

[axpgn]

Ma cos'è questa crescente tendenza a postare risposte ragionieristiche/contabili?
Una bella soluzione algebrica, no?
E se dovessi considerare tutti gli interi?


Cordialmente, Alex