Trigonometria

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione:

$sin(cos(x))=cos(sin(x))$



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Soluzioni:

[giammaria]

Ho due perplessità:
1) Non so cosa è successo alla risposta di Quinzio: io vedo la scritta "Soluzioni:" ma niente altro.
2) Non garantisco l'esattezza dei miei calcoli, fatti a mano perché la mia calcolatrice sembra irreperibile.

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$cos(pi/2-cos x)=cos(sinx)$
$+-(pi/2-cosx)+2k pi=sin x$
$2k pi+-pi/2=sin x+-cos x$
Moltiplico per $sqrt2/2=sin frac pi 4=cos frac pi 4$
$sqrt2/2*2 pi(k+-1/4)=sin x cos frac pi 4+- cos x sin frac pi 4$
$sqrt 2 pi(k+-1/4)=sin(x+-pi/4)$
Il valore assoluto del secondo membro non supera 1, quindi deve aversi
$|sqrt 2 pi(k+-1/4)|<=1-> |k+-1/4|<=1/(sqrt 2 pi)->|k+-0.25|<=0.22$
Con k intero, il primo membro vale almeno 0,25, quindi questa diseguaglianza è impossibile: non ci sono soluzioni.

[axpgn]

@giammaria

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1) Quinzio voleva dire che non ci sono soluzioni ma scritto così non significa niente tant'è che tu lo hai interpretato diversamente.

2) Non mi torna la tua prima equivalenza.

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Scrivi "Non mi torna la tua prima equivalenza"

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Se ti riferisci alla mia prima riga, ho solo usato la formula degli angoli associati $sin alpha= cos(pi/2-alpha)$.
Nella seconda riga, ho usato il collegamento fra due angoli aventi lo stesso coseno.

[axpgn]

Rileggila.

Se $x=0$?

[giammaria]

L'ho riletta, ma direi che le mie formule funzionano anche nel caso $x=0$. E questa non è una soluzione; infatti, sostituendola nell'equazione, essa diventa
$sin 1=cos 0 ->sin 1=1$
che è falso.

[axpgn]

Non l'hai riletta attentamente.

Da un lato dell'equivalenza hai $cos(sin(x))$; sostituendo $x=0$ abbiamo $cos(sin(0))=cos(0)=1$

Dall'altro lato abbiamo $cos(pi/2-cos(x))$; sostituendo $x=0$ abbiamo $cos(pi/2-cos(0))=cos(pi/2-1)=0.84$

Essendo un'equivalenza i due membri dovrebbero essere uguali, no?

[Quinzio]

@giammaria

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1) Quinzio voleva dire che non ci sono soluzioni ma scritto così non significa niente tant'è che tu lo hai interpretato diversamente.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Sì, ok, ok, ma la risoluzione dov'è?