da pilloeffe » 01/10/2023, 13:25
Ciao NIcholasGiovs,
Ti scrivo come l'ho ricavata per estensione a $\CC $, poi naturalmente non escludo che ci siano altri metodi.
Si parte dalla ben nota relazione
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{- a x^2} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{ a }}
\label{intGauss:I0(a)}
\end{equation}
che vale per $a > 0 $
A questo punto si è indotti a generalizzare considerando l'integrale seguente:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)}
\end{equation}
dove $a > 0$, $b \in \RR $ e $i^2 := -1$.
Per risolvere l'integrale proposto, si consideri la funzione $f(z) = e^{- a z^2 + ibz}$ della variabile complessa $z = x + iy$, essendo $y$ una costante il cui valore per il momento non interessa. Si osservi che la funzione $f(z)$ è analitica, senza singolarità al finito nel piano di Gauss.
Pertanto, in accordo col Teorema di Cauchy, si ha:
\begin{equation}
\oint_{{\partial}D_R}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z = 0
\label{intGauss:I0(a,b) su C}
\end{equation}
essendo $\partialD_R$ la frontiera del rettangolo $D_R$ di vertici $(-R,0)$, $(R,0)$, $(R,iy)$ e $(-R,iy)$ percorsa in senso antiorario; si sta dunque considerando il caso $\text{Im} [z] = y > 0$, ma il ragionamento sarebbe analogo se si considerasse $\text{Im} [z] = y < 0$.
Esplicitando la (\ref{intGauss:I0(a,b) su C}) si ha:
\begin{equation}
\int_{- R}^{+ R}e^{-a x^2 + ibx}\text{d}x + \int_{R}^{R + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z + \int_{R + iy}^{- R + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z + \int_{- R + iy}^{- R}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z = 0
\label{intGauss:I0(a,b)_su_C_espl}
\end{equation}
Ma il secondo ed il quarto integrale di quest'ultima relazione, cioè quelli sui lati verticali del rettangolo $D_R$, danno contributo nullo per $R \to +\infty$, per cui si ha:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a x^2 + ibx}\text{d}x = \int_{-\infty + iy}^{+\infty + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z
\label{intGauss:I0(a,b) su_C_final}
\end{equation}
Se nell'integrale che compare al secondo membro di quest'ultima equazione si tiene conto che $y$ è una costante, quindi $dz = dx$, e che $z = x + iy $, si ha:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a (x + iy)^2 + ib(x + iy)}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)_inv_su_iy}
\end{equation}
Dunque l'integrale (\ref{intGauss:I0(a,b)}) non cambia valore qualora non sia calcolato lungo l'asse reale, ma lungo ogni altra parallela all'asse reale. Svolgendo i calcoli si ha:
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x & = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a (x + iy)^2 + ib(x + iy)}\text{d}x = e^{a y^2 -by}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 - 2a ixy + ibx}\text{d}x =\\
& = e^{a y^2 - by}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ix(b - 2 a y)}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)el}
\end{align*}
Se in quest'ultimo integrale si sceglie $y$ in modo tale che dall'esponente dell'integrando scompaia la parte immaginaria, cioè si pone $y := b/(2a)$, si ha:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = e^{- \frac{b^2}{4}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)el_con_y=b/(2a)}
\end{equation}
Ma l'ultimo integrale della relazione precedente si può calcolare mediante la relazione (\ref{intGauss:I0(a)}), per cui si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\:e^{- \frac{b^2}{4a}}
\label{intGauss:I0(a,b)def}}
\end{equation}
A questo punto basta considerare $\alpha \in \CC$ con $a = \text{Re}[\alpha] > 0 $ al posto di $a$ e porre $\beta := ib \implies \beta^2 = - b^2 $ che si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 + \beta x}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha}}
\label{intGauss:I0(alpha,beta)def}}
\end{equation}
per $ \text{Re}[\alpha] > 0 $
Notare che ponendo $\beta := - i \omega $ nell'ultima equazione scritta si ottiene la trasformata di Fourier della funzione $e^{-\alpha x^2} $:
\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 - i \omega x}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{ - \frac{\omega^2}{4\alpha}}
\label{intGauss:I0(alpha,- omega)}}
\end{equation}
per $ \text{Re}[\alpha] > 0 $