Integrazione nel campo complesso

[DeSkyno18]

L'integrale curvilineo di una funzione nel campo complesso è sempre un integrale di una forma differenziale $ f dx + i f dy $ esteso ad una generica curva regolare $ \gamma $, o anche in $ \mathbbC $ esiste una differenza tra i due integrali di linea come in $ \mathbb{R} $?

[dissonance]

Perché, in \(\mathbb R\) esiste una differenza tra vari integrali di linea? Non escludo che qualche libro di testo supporti queste distinzioni, ma sono cose old school che non mi vedono molto d'accordo.

Si, l'integrale \(\int_\gamma f(z)\,dz\) è esattamente la stessa cosa che
\[
\int_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\int_\gamma(vdx+udy),\]
dove \(f=u+iv\) e \(u, v\) sono funzioni a valori reali.

[DeSkyno18]

Si scusa forse ho inteso male io.
In $ \mathbbR $ si ha:
L'integrale di linea di prima specie (o integrale curvilineo di una funzione lungo la curva considerata) che non dipende né dalla scelta della parametrizzazione, né dall'orientamento;
L'integrale di linea di seconda specie (o integrale curvilineo di una forma differenziale lungo la curva considerata) che non dipende dalla scelta della parametrizzazione, mentre - cambiando l'orientamento - otteniamo l'opposto.
In $ \mathbbC $ abbiamo l'integrale di seconda specie come l'hai esposto tu, però mi sembra di capire dal libro che possiamo vederlo anche come integrale di linea di prima specie (o in generale anche in $ \mathbbR $ i due sono "interscambiabili" con le opportune osservazioni)?

[dissonance]

Non hai inteso male e non devi chiedere scusa a nessuno. Pensavo di essere stato chiaro nella mia polemica contro i libri di testo, e non contro di te. Non amo affatto le classificazioni "di prima specie, di seconda specie" etc...

Comunque, questa era solo la mia opinione. Come hai correttamente identificato, la differenza tra le varie definizioni sta nell'orientazione. Invertendo l'orientazione della curva, alcuni integrali cambiano segno e altri no. Ricordo un post di ViciousGoblin in cui parlava di integrale "dell'analista" (che non dipende dall'orientazione) e di integrale "del geometra" (che cambia segno con l'orientazione).

Cosa succede all'integrale di una funzione complessa di variabile complessa? La definizione è molto semplice:
\[
\int_\gamma f(z)\,dz=\int_0^1 f(\gamma(t))\dot{\gamma}(t)\, dt.\]
Se cambi l'orientazione di \(\gamma\), questo integrale cambia segno o no? Certo che cambia. Perché se definisci \(\tilde \gamma(t)=\gamma(-t)\) allora (\dot{\tilde{\gamma}}(t)=-\dot{\gamma}(t)\). Quindi l'integrale di funzione complessa di variabile complessa è un integrale che dipende dall'orientazione, o se preferisci un integrale "del geometra", o se ancora preferisci un integrale "di seconda specie". E questo è compatibile con la decomposizione di \(\int_\gamma f(z)\, dz\) in somma di due integrali di forme differenziali reali che ho scritto nel mio post precedente.


Quanto all'interscambiabilità dei due concetti, questa è una domanda più avanzata e per il momento non rispondo. La matematica dietro l'integrale dell'analista è la teoria della misura. La matematica dietro l'integrale del geometra è l'algebra delle forme differenziali. Le due cose sono collegate? Ovviamente si.

[pilloeffe]

Ciao DeSkyno18,

In $\CC $ abbiamo l'integrale di seconda specie come l'hai esposto tu, però mi sembra di capire dal libro che possiamo vederlo anche come integrale di linea di prima specie (o in generale anche in $\RR $ i due sono "interscambiabili" con le opportune osservazioni)?

Non so se ho correttamente interpretato, ma da quanto hai scritto sembra che ti manchi il passaggio seguente.

Usando le notazioni già introdotte da dissonance, $ I = [0, 1]$, $f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$,
$\gamma(t) = x(t) + iy(t)$, si ha:

$ \int_{\gamma} f(z) \text{d}z = \int_0^1 [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))][x'(t) + iy'(t)] \text{d}t = $
$ = \int_0^1 [u(x(t), y(t))x'(t) - v(x(t), y(t))y'(t)]\text{d}t + i \int_0^1 [u(x(t), y(t))y'(t) + v(x(t), y(t)) x'(t)] \text{d}t $

[DeSkyno18]

Innanzitutto grazie ad entrambi per le risposte.

La definizione (e la dimostrazione) di come un integrale di una funzione complessa di variabile complessa sia un integrale di seconda specie delle forme differenziali delle funzioni reali $ u $ e $ v $ mi è chiara.

Non sapevo di questo concetto dell'integrale dell'analista e del geometra e devo dire è molto interessante.

Ultimi concetti che non mi sono ancora chiari:
- Va bene non andare nel dettaglio (anche perché saranno concetti che non penso vengano trattati ad ingegneria) ma, dunque, è possibile "passare" da un tipo di integrale all'altro? Se sì, immagino parta da qui la polemica di dissonance contro i libri di testo sul concetto dei due integrali (?).
- Se un integrale di una funzione complessa di variabile complessa è definito come detto sopra, allora perché la prof ha anche messo una definizione di questo integrale usando l'ascissa curvilinea e la definizione di integrale di linea di prima specie (quella usata da dissonance ma con il modulo di $ \gamma^' (t) $)?

Inoltre, il libro consigliato dalla prof considera dapprima una funzione complessa di variabile reale e definisce l'integrale definito di $ f $ come somma dell'integrale definito di $ u(t) $ e dell'integrale definito di $ v(t) $ (ovviamente moltiplicato per $ i $). Ma è davvero necessaria questa definizione? Io credo sia solo più confusionaria...

[dissonance]

La mia polemica è soprattutto sulle notazioni: "integrale di prima specie" o "di seconda specie", ma cosa significa? Come, ad esempio, "metodo K", "M-test", "complesso CW", ma che razza di nomi sono, come si fa a ricordarsi cosa significano? Non sarebbe meglio dire "integrale orientato" o "integrale non orientato"?

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In fondo, la matematica dietro tutta questa roba è semplice e si riduce a una osservazione basilare sugli integrali di funzioni reali di una variabile reale. Possiamo scrivere
\[
\int_a^b f(x)\, dx,\qquad \text{oppure}\qquad \int_{[a, b]}f(x)\, dx,\]
e fin qui le due scritture denotano esattamente la stessa cosa. Solo che la prima scrittura allude alla regola
\[
\int_b^a f(x)\, dx =-\int_a^b f(x)\, dx, \]
mentre la seconda non ammette niente del genere: scrivere \([b, a]\), se \(b\) è più grande di \(a\), non significa nulla. La conseguenza più importante è la formula del cambio di variabile: se \(x=\phi(y)\), allora
\[
\int_a^b f(x)\, dx= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(y))\, \phi'(y)\, dy, \]
mentre
\[
\int_{[a, b]} f(x)\, dx= \int_{\phi^{-1}([a, b])} f(\phi(y))\lvert\phi'(y)\rvert\,dy.\]
È spuntato fuori un valore assoluto, il famoso "valore assoluto dello Jacobiano" che spesso ci fa confondere negli esami di analisi, specialmente per integrali di funzioni di più variabili.

In conclusione, abbiamo scritto lo stesso numero in quattro modi diversi:
\[
\int_a^b f(x)\, dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(y))\, \phi'(y)\, dy=\int_{[a, b]}f(x)\, dx= \int_{\phi^{-1}([a, b])} f(\phi(y))\lvert\phi'(y)\rvert\,dy.\]
Con un linguaggio più avanzato, l'integranda in
\[
\int_a^b f(x)\, dx\]
è una forma differenziale, ovvero un oggetto che si trasforma per cambi di coordinate secondo la regola
\[\tag{1}
f(x)\, dx = f(\phi(y))\, \phi'(y)\, dy.\]
Mentre l'altra integranda, che in effetti potremmo scrivere
\[
\int_{[a, b]} f(x)\, |dx|,\]
come fanno alcuni, è una pseudoforma (un analista la penserebbe come una misura), ovvero un oggetto che si trasforma per cambi di coordinate secondo la regola
\[\tag{2}(x)\, |dx| = f(\phi(y))\, |\phi'(y)|\, |dy|.\]
Le due regole (1) e (2) sono molto simili, la differenza sta nel valore assoluto. La regola (1), delle forme differenziali, tiene conto dell'orientazione. La regola (2), delle pseudoforme (della misura di Lebesgue, secondo un analista), non tiene conto dell'orientazione e la fa sparire sotto un valore assoluto.

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Questo è tutto. É obbligatorio qui il riferimento alla favola di John Baez, che amo citare.

[dissonance]

Ho aggiornato il mio post precedente. Spero sia più chiaro ora.