Come detto in un mio post precedente, sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare stavolta la domanda è sul teorema 3.16 di pagina 81.
Per rendere questo post autoconsistente faccio un pò di contesto, molto simile a quello già fatto "di là". Iniziamo dalle definizioni.
Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione che agisce sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un $O(|x|^{-N})$, per ogni $N$.
Una funzione generalizzata è per definizione una famiglia di funzioni buone \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) tale per cui esista il limite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\) per qualsiasi buona $\gamma(x)$.
Riporto inoltre un lemma, senza dimostrarlo (ma la cui dimostrazione mi torna perfettamente).
La proprietà seguente è valida per tutte le funzioni buone: \(\displaystyle \max_{x\in\mathbb{R}}\left\{(1+x^2)^{\alpha} \left|\gamma^{(p)}(x)\right| \right\}\leq \left(\frac{\pi}{2}\right)^n\max_{x\in\mathbb{R}}\left\{(1+x^2)^{\alpha+n} \left|\gamma^{(p+n)}(x)\right|\right\} \), dove $\alpha\geq 0$ e $p\in\mathbb{N}_0$.
Detto ciò, veniamo al dubbio.
Il teorema 3.16 afferma che:
Qualsiasi sia la funzione generalizzata \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \), esistono due interi $k$, $r$, e una costante $K$ tali che $$ \left| \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq K \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)$$ per qualsiasi funzione buona $\gamma$.
Lui inizia la dimostrazione notando che:
\(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq \int_{-\infty}^\infty |\gamma_n(x)| \mathrm{d}x \cdot \max_{x\in\mathbb{R}}| \gamma(x)| \underbrace{\leq}_{\text{Lemma}} \underbrace{ \left(\frac{\pi}{2}\right)^s \int_{-\infty}^\infty |\gamma_n(x)| \mathrm{d}x}_{C_{s,n} \text{ indipendente da }\gamma} \cdot \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{s}| \gamma^{(s)}(x)|\)
e afferma che la dimostrazione sarebbe conclusa se per un qualche $s$ le costanti $C_{s,n}$ fossero limitate al variare di $n$. Al fine di dimostrare questa cosa procede per assurdo, ipotizzando che ciò non sia vero, ovvero che scelti dei qualunque $k$ e $s$, si troverà sempre un indice $n$ oltre il quale \(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| > L_n\cdot \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}| \gamma^{(s)}(x)| \), non importa quanto $L_n$ sia grande.
E proprio il passaggio "ovvero che..." che io contesto. Per me le strade per assurdo che si potrebbero impostare sono al massimo due e non ho ben capito quale delle due lui aveva in mente di seguire, da come ha scritto:
1. suppongo per assurdo che, qualsiasi sia $s$, la successione $C_{s,n}$ è sempre non limitata;
2. suppongo per assurdo che, comunque vengano scelti $k,r$ e $K$, si riesce sempre a trovare una funzione buona $\tilde{\gamma}$ tale che la successione \(\displaystyle \left| \int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \tilde{\gamma}(x) \mathrm{d}x\right| \) non è limitata al variare di $n$.
Scegliendo la prima ipotesi, non mi sembra che si può dedurre granché, perché se i maggioranti sono illimitati non significa che debba esserlo anche la successione maggiorata.
La seconda ipotesi per assurdo invece consente libera scelta per le costanti $k,r$ e $K$ (quelle dell'enunciato del teorema), ma poi la funzione buona $\tilde{\gamma}(x)$ è "quella che viene", e invece lui imposta tutto il prosieguo della dimostrazione sulla possibilità di scegliere le funzioni buone come gli pare, nel modo che più gli fa comodo per arrivare ad una contraddizione.
Cosa mi sto perdendo? Non ci credo che il passaggio evidenziato da me in rosso è veramente un errore logico commesso dall'autore. Molto più verosimilmente mi sto perdendo qualcosa io e chiedo aiuto a capire in tal senso.
Grazie.
PS: non so quanto possa essere utile il resto, ma se serve posso postare un estratto della dimostrazione completa (un pò lunga e involuta, ma si basa sostanzialmente tutta sull'ipotesi per assurdo fatta all'inizio che io sto contestando qui).