da Martino » 23/02/2008, 22:23
Molto bella la dimostrazione di Silvestro.
Propongo anche la mia.
Ricordo che la distanza tra un punto P ed una retta r è per definizione $min \{d(P,Q)\ |\ Q \in r\}$, dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra P e Q. Insomma, la distanza tra P ed r è il minimo delle distanze di P dai punti di r.
Mi metto nella situazione in cui l'equazione della retta (sia essa r) è $y=mx+q$. Sia $P=(x_0,y_0)$. Sia $Q=(x,mx+q)$ un punto della retta r.
Allora abbiamo che la distanza al quadrato tra P e Q vale
$d(P,Q)^2 = |P-Q|^2 = (x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2$
Dobbiamo trovare quel x che minimizza tale quantità (minimizzare una distanza è equivalente a minimizzarne il quadrato). Tale quantità si può riscrivere così:
$d(P,Q)^2 = x^2-2x_0x+m^2x^2+2mxq-2mxy_0+f(x_0,q,y_0)$
dove $f(x_0,q,y_0)=x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0$ è una quantità che non dipende da x. Dobbiamo allora minimizzare $(1+m^2)x^2-2(x_0-mq+my_0)x$. Ma una quantità del tipo $ax^2+bx$ con $a>0$ è minimizzata quando $x=-b/(2a)$ (geometricamente è l'ascissa del vertice della parabola rivolta verso l'alto rappresentata dall'equazione $y=ax^2+bx$), e quindi il valore minimo è $b^2/(4a)-b^2/(2a) = -b^2/(4a)$. Nel nostro caso $a=1+m^2$ e $b=-2(x_0-mq+my_0)$, quindi la distanza al quadrato minimizzata vale
$d(P,r)^2 = d(P,Q_{min})^2 = -(x_0-mq+my_0)^2/(1+m^2)+x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0 = $ (... meri conti ...) $ = (q-y_0+mx_0)^2/(1+m^2)$
Estraendo le radici quadrate si ottiene il risultato.
In effetti la parte dei meri conti è quella che mi piace meno della mia dimostrazione, e quella che me la fa bocciare rispetto a quella di Silvestro.
Ciao.
Edito: faccio notare che non ho utilizzato il Calcolo nella dimostrazione: il fatto che il valore minimo di $ax^2+bx$ (qui a>0) sia quello corrispondente a $x=-b/(2a)$ si può dimostrare in maniera totalmente algebrica: $ax^2+bx = 1/a (a^2x^2+abx) = 1/a ((ax+b/2)^2-b^2/4) = (ax+b/2)^2/a-b^2/(4a) ge -b^2/(4a)$. Si ha "=" se e solo se il primo addendo (sempre positivo o nullo) è nullo, ovvero $x=-b/(2a)$.
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Martino il 24/02/2008, 11:08, modificato 1 volta in totale.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.