innanzitutto volevo sottolineare che anche nel caso in cui $S$ è aperto la "regola" è come per la chiusura la frontiera in $S$ di un insieme è la frontiera in $X$ intersecata con $S$, credo fosse chiaro ma meglio specificare
Per la parte interna succede la cosa inversa a quella della frontiera, sempre i punti della parte interna di $W$ nella topologia di $X$ sono anche nella parte interna nella topologia di $S$: se p è nella parte interna vista in $X$ esiste $U$ intorno aperto di p interamente contenuto in $W$, $UnnS$ è un aperto in $S$ interamente contenuto in $W$ e quindi p è nella parte interna anche se $W$ è visto in $S$
il viceversa non vale e si può usare lo stesso esempio di sopra: la parte interna di $W=[1/2,1]$ in $[0,1]$ è $(1/2,1]$ e ${1}$ non è nella parte interna di $W$ visto in $RR$
se $S$ è aperto non l'ho svolto però credo valga una cosa analoga alla frontiera in quanto gli aperti in $S$ sono anche aperti in $X$.
per il derivato, ho dovuto vedere la definizione
sia p è punto di accumulazione per $W$ in $S$ prendo $U$ intorno aperto di p in $X$ allora $UnnS$ è aperto in $S$ e contiene almeno un punto di $S$ diverso da p anche $U$ conterrà questo punto e quindi p è di accumulazione per $X$
per il viceversa supponiamo sempre che p punto di accumulazione di $W$ in $X$ stia in $S$ altrimenti la questione è banale. Prendo $U$ aperto in $S$ è del tipo $VnnS$ con $V$ aperto in $X$ quindi $V$ contiene un punto x di $W$ diverso da p siccome $W sub S$ allora $x in U=VnnS$ e p è di accumulazione per $W$ in $S$
dovrebbe andare, ciao