Uhm, cerco di risponderti, ho cercato delle immagini che potessero essere utili ma sono troppo esigente e non ho trovato niente di adatto secondo me
Consideriamo il moto nello spazio di un punto materiale. Fissato un sistema di riferimento, sia \( \displaystyle \vec r \) il vettore posizione, cioè quel vettore che, istante per istante congiunge l'orgine del suddetto sistema di riferimento col punto materiale. Ovviamente il vettore posizione è funzione del tempo, i.e. \( \displaystyle \vec r = \vec r(t) \) .
Consideriamo quello che avviene tra due istanti di tempo \( \displaystyle t_1 \) e \( \displaystyle t_2 \) : in questi due istanti il punto materiale avrà assunto le due posizioni \( \displaystyle \vec r(t_1) \) e \( \displaystyle \vec r(t_2) \) . Si definisce
vettore spostamento il vettore \( \displaystyle \vec s = \Delta\vec r = \vec r(t_2) - \vec r(t_1) \) che ha il "sedere" nella posizione assunta in \( \displaystyle t_1 \) e la punta nella posizione assunta in \( \displaystyle t_2 \) . In pratica parte dalla punta di \( \displaystyle \vec r(t_1) \) e termina sulla punta di \( \displaystyle \vec r(t_2) \) .
Definiamo invece
spostamento \( \displaystyle s \) la lunghezza dell'arco di curva percorso tra i due istanti di tempo. Notare che in generale \( \displaystyle \left|\vec s\right| \neq s \) .
Facciamo un esempio: immagina un moto che si svolge su una circonferenza: il vettore \( \displaystyle \vec s \) è una corda di questa circonferenza, mentre lo spostamento \( \displaystyle s \) è la lunghezza dell'arco di circonferenza che sottende la corda.
passiamo alle definizioni:
-
velocità media vettoriale: \( \displaystyle \vec v_m = \frac{\vec s}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2-t_1} \)
-
velocità media scalare: \( \displaystyle v_m = \frac{s}{\Delta t} \)
Per le stesse considerazioni di cui sopra, in generale \( \displaystyle \left|\vec v_m\right| \neq v_m \)
-
velocità istantanea vettoriale : \( \displaystyle \vec v = \frac{d\vec s}{dt} = \frac{d\vec r}{\Delta t} = lim_{h\to 0} \frac{\vec r(t_1+h) - \vec r(t_1)}{h} \)
-
velocità istantanea scalare : \( \displaystyle v = \frac{ds}{dt} \)
a questo punto succede una cosa interessante: stavolta \( \displaystyle \left|\vec v\right| = v \) !!!!
Perché? Intuitivamente stiamo facendo tendere a zero la durata dell'intervallo di tempo, quindi se ci rifletti, man mano che la durata si riduce il vettore spostamento tende ad avere la stessa lunghezza dello spostamento!
Queste quattro sono grandezze fisiche che possono avere interesse, a seconda delle applicazioni, in qualsiasi moto!
Nel caso di un moto rettilineo (ma non necessariamente unifome, è sufficiente che la velocità non cambi verso) abbiamo delle semplificazioni notevoli, ad esempio stavolta è vero che \( \displaystyle \left|\vec s\right| = s \) .
Passo a rispondere alle tue domande:
nel caso di un moto generico .... cioè dove la velocità non ha direzione e verso definita standard.
In un moto vario la direzione e il verso della velocità cambiano istante per istante, ma sono calcolabili, se si conosce l'andamento nel tempo di \( \displaystyle \vec r(t) \) .
1)"matematicamente" come facciamo a calcolare la velocità scalare istantanea?
a questa in realtà ti sei risposto da solo
è il modulo della velocità vettoriale istantanea
2)che senso logico ha calcolare la velocità scalare istantanea in un moto del genere .... ?
Ha senso calcolarla in un moto vario perché ti può essere utile per trovare il modulo dell'accelerazione tangenziale
P.S: Almeno nei libri di fisica I, quando non è specificato se ci si riferisce a una velocità scalare o vettoriale, implicita mente si intende vettoriale; se non è specificato se si parla di una velocità media o di una istantanea, si intende una velocità istantanea. Quandi quando trovi scritto "velocità" e basta, se non diversamente specificato, si parla della velocità vettoriale istantanea
P.P.S: Magari in serata attivo lo scanner e ti posto un immagine esplicativa, ma non garantisco