Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}
Allora, la formula per calcolare l'integrale superficiale che devo adoperare è la seguente:
$int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
dove $f(psi(phi,omega))$ è la funzione iniziale in cui vengono sostituite le coordinate $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$ e A,B,C(phi,theta) sono i minori di ordine 2 dello jacobiano relativo alla superficie.
Ora, ho considerato la superficie come cartesiana, pertanto ho imposto che i 3 minori fossero i seguenti:
$A=2x^3, B=0, C=1
e, quadrando e sommando, avrò $4/x^6+1$ che, una volte messo sotto radice quadrata, potrò inserire nella seconda parte della formula suddetta.
Dopodichè, non conoscendo l'andamento della $z=xy$, ho disegnato, nel piano xy, il dominio D suddetto, ottenendo un settore di corona circolare, in cui $-pi/4<=theta<=pi/4, 0<=phi<=pi$.
Una volta fatto ciò (sempre che quanto detto sia esatto, naturalmente), dovrò trovare la $(f(psi(phi,theta))$, che, se ho capito bene, deve essere ricavata sostituendo $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$.
Ho cercato di proporre tale soluzione, sebbene non sia molto sicuro che sia esente da errori vari.
Grazie per l'aiuto,