Vitalluni ha scritto:Una volta che definisci la moltiplicazione induttivamente e riesci a capire la dimostrazione del fatto che sulla motliplicazione vale la proprietà distributiva, vedrai che la regola del segno: $ a * -a = -(a*a) and -a*-a = a*a$ è una cosa che salta fuori da se, diciamo un altra proprietà. La puoi dimostrare così oppure semplicemente per assurdo:
- Assumi che la regola del segno non valga
- Trovi che non vale la proprietà distributiva
- Ma sai che la proprietà distributiva vale perchè segue dalla definizione di moltiplicazione
- Ne deduci che la regola del segno è vera.
Parlando della proprietà distributiva potrei porre che:
\(\displaystyle -a*(b-b)= -a *b+ (-a*-b) = 0 \) e da qui affermare che \(\displaystyle (-a)*(-b)=a*b \). In questo modo sarebbe dimostrata la regola del segno grazie alla proprietà distribuitiva.
Tuttavia potremmo lamentarci di non avere una dimostrazione del fatto che quel "\(\displaystyle - \)" davanti la "\(\displaystyle a \)" non invalidi la proprietà distribuitiva. Di conseguenza dovremo accettare la regola del segno solo per validare la proprietà distributiva anche nel caso di numeri negativi. Quindi questa non mi sembra una dimostrazione, ma un assecondare.
Io non sono un matematico, e non ho idea se esistano altre strade con cui la regola dei segni sia stata dimostrata. Quel che è certo è che nel momento in cui impostiamo una equazione in cui concepiamo l'esistenza di numeri negativi, ed attribuiamo ad essi un significato (ad esempio anni al passato, metri indietro, ecc.), solo ed unicamente usufruendo della regola \(\displaystyle -*-=+ \) possiamo ottenere un risultato che sia corretto.
Supponiamo di avere una funzione comunque complessa, e di sostituire tutti i numeri possibili nelle incognite cercando gli zeri.
Supponiamo di riuscire a trovare tali zeri.
Svolgendo regolarmente l'equazione ci accorgeremmo che solo rispettando la regola del "\(\displaystyle -*-=+" \) otterremmo lo stesso risultato (quello corretto).
Potremmo dire che non esiste algebra senza regola dei segni, e non esiste regola dei segni senza algebra.
Un conto algebrico eseguito infrangendo la regola dei segni porterebbe sempre a risultati sbagliati.
A livello matematico ha certo importanza poter dimostrare che quanto appena detto valga sempre e per qualunque calcolo si faccia. Il fatto che tutti i calcoli svolti dagli albori degli studi sull'algebra abbiano confermato il fatto che è giusto fare \(\displaystyle -*-=+ \) non rappresenta una dimostrazione, eppure ha sempre funzionato.
Sottolineo comunque che la regola dei segni mi fu insegnata con le dimostrazioni già proposte dagli altri utenti in questo thread. Se qualcuno conosce un dimostrazione che non lasci spazio a repliche lo esorto a presentarla, in quanto certamente interessante.