Aggiorno il topic.
Qui a L'Aquila, qualche giorno fa, abbiamo dimostrato il teorema di Hall senza far uso di Schur-Zassenhaus, usando solamente la teoria di Sylow, la teoria di base dei gruppi risolubili e l'argomento di Frattini.
La dimostrazione è tratta dal libro "Gruppi" di Antonio Machì, pagina 236 dell'edizione italiana del 2007.
Nel caso qualcuno se lo stia chiedendo questo libro è facilmente "reperibile".
Un elemento chiave usato nella dimostrazione è questo.
Sia $G$ un gruppo risolubile finito e sia $N$ un suo sottogruppo normale minimale. Allora $G$ è un $p$-gruppo abeliano elementare, cioè un $p$-gruppo abeliano nel quale tutti gli elementi hanno ordine $p$.
La dimostrazione procede per casi (se $p$ divide o meno la cardinalità del sottogruppo che si vuole trovare) ed è anche piuttosto lunga.
Dubito che steven86 sia ancora "sintonizzato" su questo topic però, forse, qualcuno potrebbe incappare in questo topic dal compendio di Martino.
Se altri non facessero altro che riflettere sulle verità matematiche così in profondo e con continuità come ho fatto io, farebbero le mie scoperte.
K.F. Gauss