Aspetta aspetta credo di aver dimostrato anche questa cosa che f è una mappa aperta...
Per la definizione di omeomorfismo locale ogni punto $x \in X$ possiede un intorno $V_x$ tale che $f(V_x)$ è aperto in $Y$ e $f|V_x$ è un omeomorfismo. Sia $A$ un aperto di $X$ allora $A \cap V_x$ è un aperto di $V_x$ quindi (ricordando che $f|V_x$ è un omeomorfismo) $f(A \cap V_x)= f(A) \cap f(V_x)$ è un aperto di $f(V_x)$. Ma $f(V_x)$ è aperto in $Y$ per ipotesi, quindi $f(A \cap V_x)$ è aperto in $Y$. Di conseguenza $f(A)= \bigcup_{x \in X} f(A \cap V_x)$ è unione di aperti di $Y$ e pertanto è aperto.
Dimmi un pò se va bene.