da gugo82 » 16/05/2010, 01:34
In generale la sostituzione \( \displaystyle t=\tan \frac{x}{2} \) funziona per tutti gli integrali di funzioni razionali di \( \displaystyle \cos x \) e \( \displaystyle \sin x \) ; insomma, \( \displaystyle t=\tan \frac{x}{2} \) è la sostituzione standard da usare sempre (quindi anche nel tuo caso).
Se però l'integrando è una funzione razionale di \( \displaystyle \sin^2 x \) , \( \displaystyle \cos^2 x \) , \( \displaystyle \sin x\cos x \) , \( \displaystyle \tan x \) e \( \displaystyle \cot x \) allora, anziché usare la sostituzione standard illustrata sopra, si possono semplificare i conti usando la sostituzione \( \displaystyle t=\tan x \) ; quindi \( \displaystyle t=\tan x \) è una sostituzione semplificativa che funziona solo in alcuni casi (ed in particolare, non funziona nel tuo caso!).
Ad esempio, consideriamo il caso (semplicissimo) dell'integrale \( \displaystyle \int \tan x \ \text{d} x \) ; visto che \( \displaystyle \tan x =\frac{\sin x}{\cos x} \) e che \( \displaystyle D[\cos x] =-\sin x \) , si trova immediatamente che l'integrale è \( \displaystyle -\ln |\cos x| +c \) .
Proviamo a svolgerlo con le due sostituzioni:
1) sostituzione standard \( \displaystyle t=\tan \frac{x}{2} \) : abbiamo:
\( \displaystyle \int \tan x \ \text{d} x =\int \frac{\sin x}{\cos x} \ \text{d} x = \int \frac{2t}{1+t^2}\ \frac{1+t^2}{1-t^2} \ \frac{2}{1+t^2} \ \text{d} t =\int \frac{2t}{(1-t^2)(1+t^2)} \ \text{d} t \) ...
Qui arriviamo ad un punto in cui bisogna fare tanti conti per scomporre l'ultimo integrando in fratti semplici ed integrare; però l'integrale si può risolvere (con un po' di olio di gomito), quindi la sostituzione funziona.
2) sostituzione semplificativa \( \displaystyle t=\tan x \) : troviamo:
\( \displaystyle \int \tan x \ \text{d} x = \int t\ \frac{1}{1+t^2} \ \text{d} t =\frac{1}{2} \ \ln |1+t^2| +c=\frac{1}{2} \ \ln |\cos^{-2} x|+c =-\ln |\cos x|+c \) ,
semplice semplice.
Il fatto che la soluzione semplificativa non risulti sempre utile deriva dal fatto che non c'è nessuna relazione razionale che si può stabilire tra \( \displaystyle \sin x \) e \( \displaystyle \cos x \) e \( \displaystyle t=\tan x \) : infatti le uniche relazioni che legano tali funzioni sono del tipo:
\( \displaystyle \cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \) e \( \displaystyle \sin x=\pm \sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}} \)
sicché, se le funzioni \( \displaystyle \cos x \) e \( \displaystyle \sin x \) non appaiono elevate a potenze pari sotto il segno d'integrale, usando la sostituzione semplificativa c'è il rischio di inserire nell'integrale dei radicandi che complicano solo le cose.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)