Scrivere una matrice data l'applicazione lineare

[GOPRO HERO4]

Ciao a tutti, ho dei problemi quando mi chiedono di scrivere la matrice data un'applicazione lineare, cioè non riesco a capire il procedimento logico. Ad esempio, come faccio a risolvere questo esercizio?



Grazie

[Emar]

Lascia un attimo da parte l'esercizio.

Hai una mappa lineare \(\mathbf{f}: \mathbf{V} \to \mathbf{W}\) e basi \(\mathbf{v}_i\) su \(\mathbf{V}\) e \(\mathbf{w}_i\) su \(\mathbf{W}\).
Allora, come sai, ogni vettore \(\mathbf{u} \in \mathbf{V}\) si può scrivere come combinazioni lineare di elementi della base, ovvero:
\[\mathbf{u} = \sum_{i=1}^n u^i \mathbf{v}_i \]

Ora, considerando che \(\mathbf{f}\) è lineare, come puoi esprimere \(\mathbf{f}(\mathbf{u})\)?

[GOPRO HERO4]

$ f(u)=a11W1+...+an1Wn $
Giusto?

[Emar]

Nì! In generale \(\mathbf{f}(\mathbf{u})\) si esprimerà come combinazione lineare degli elementi della base \(\mathbf{w}_i\), ovvero:

\[ \mathbf{f}(\mathbf{u}) = \sum_{j=1}^m y^i \mathbf{w}_i \]

Ma questo a prescindere dal fatto che sia la funzione sia lineare!

La chiave è che quando la funzione puoi scrivere:

\[\mathbf{f}(\mathbf{u})= \mathbf{f}( \sum_{i=1}^n u^i \mathbf{v}_i ) = \sum_{i=1}^n u^i \mathbf{f}(\mathbf{v}_i) \]

Questa formula ti dice che per conoscere l'immagine di un qualsiasi vettore, ti basta conoscere come \(\mathbf{f}\) trasforma gli elementi della base.

Questo dovrebbe darti un hint di come svolgere il primo punto dell'esercizio. Qui abbiamo un unico spazio e anche un'unica base, quindi le cose si semplificano un po'. Prova!

Continuando il discorso, per arrivare alla matrice dobbiamo sfruttare il fatto di prima, ovvero che anche le immagini si possono scrivere come combinazioni lineari. In particolare per ogni $i$ hai:
\[ \mathbf{f}(\mathbf{u}_i) = \sum_{j=1}^m A^j_i \mathbf{w}_j \]

Combinando le due cose ottieni:

\[\mathbf{f}(\mathbf{u}) = \sum_{i=1}^n u^i \mathbf{f}(\mathbf{u}_i) = \sum_{i=1}^n u^i (\sum_{j=1}^n A^j_i \mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A^j_i u^i \mathbf{w}_j \]

A questo punto puoi interpretare i numeri $A_j^i$ come gli elementi di una matrice, che dipende dalle basi.

[GOPRO HERO4]

Quindi per quanto riguarda il primo punto dell'esercizio ottengo queste combinazioni lineari (dove gli indici sono appunto gli elementi della matrice);

$ f(v1)=a(11)v(1)+a(12)v(2)+a(13)v(3) $
$ f(v2)=a(21)v(1)+a(22)v(2)+a(23)v(3) $
$ f(v3)=a(31)v(1)+a(32)v(2)+a(33)v(3) $

Ora con "le trasformazioni" delle immagini (date dall'esercizio), mi calcolo i vari elementi della matrice (quindi a(11), a(21), ecc, giusto?

La soluzione del primo punto può essere:
$ A=( ( -3 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

[Emar]

Puoi scrivere
\[ \mathbf{f}(\mathbf{u})= u^1 \mathbf{f}(\mathbf{v}_1) + u^2 \mathbf{f}(\mathbf{v}_2) + u^3 \mathbf{f}(\mathbf{v}_3)\]

ma dal testo conosci come $f$ trasforma la base, e quindi:
\[ \mathbf{f}(\mathbf{u}) = u^1(-3\mathbf{v}_1) + u^2(\mathbf{v}_2) + u^3(\mathbf{v}_3 - 2\mathbf{v}_2 ) = -3u^1\mathbf{v}_1 + (u^2 -2 u^3)\mathbf{v}_2 + u^3\mathbf{v}_3 \]

La matrice rispetto alla base \(\mathbf{v}_i\) è la matrice tale che:
\[ \mathbf{f}(\mathbf{u}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A^j_i u^i \mathbf{v}_j = -3u^1\mathbf{v}_1 + (u^2 -2 u^3)\mathbf{v}_2 + u^3\mathbf{v}_3 \]

Si può scrivere:
\[ \sum_{i=1}^m A^1_i u^i \mathbf{v}_1 + \sum_{i=1}^m A^2_i u^i \mathbf{v}_2 + \sum_{i=1}^m A^3_i u^i \mathbf{v}_3 = -3u^1\mathbf{v}_1 + (u^2 -2 u^3)\mathbf{v}_2 + u^3\mathbf{v}_3 \]
Da cui segue:
\[\begin{cases} \sum_{i=1}^m A^1_i u^i = -3u^1 \\ \sum_{i=1}^m A^2_i u^i = u^2 - 2u^3 \\ \sum_{i=1}^m A^3_i u^i = u^3\end{cases} \implies \begin{cases} A^1_1 u^1 + A^1_2 u^2 + A^1_3 u^3 = -3u^1 \\ A^2_1 u^1 + A^2_2 u^2 + A^2_3 u^3= u^2 - 2u^3 \\ A^3_1 u^1 + A^3_2 u^2 + A^3_3 u^3 = u^3\end{cases}\]
Ovvero:
\[\begin{pmatrix} A^1_1 & A^1_2 & A^1_3 \\ A^2_1 & A^2_2 & A^2_3 \\ A^3_1 & A^3_2 & A^3_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u^1 \\ u^2 \\ u^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3u^1 \\ u^2 - 2u^3 \\u^3 \end{pmatrix} \]

________

Non avevo visto che avevi messo il risultato, sì è giusto. Ho scritto i calcoli utilizzando solo alla fine la notazione matriciale per sottolineare che il tutto si può fare "manualmente".

[GOPRO HERO4]

Grazie mille mi sei stato di enorme aiuto.

Per quanto riguarda il punto due dell'esercizio devo procedere nello stesso modo fatto per il primo punto?
Anche se l'esercizio mi da le trasformazioni dei vettori v e non per i vettori della base canonica..

[herstein]

Ciao, iniziamo col rispondere al primo punto della tua domanda, sapendo che
$ v1=(0,2,1) v2=(1,1,-1) v3=(-1,1,0) $
$ f(v1)=-3v1 $
$ f(v2)=v2 $
$ f(v3)=v3-2v2 $
possiamo ricavare la matrice secondo queste basi sia nel dominio che nel codominio, ovvero scriviamo il valore della funzione calcolato per v1,v2, v3 e li scriviamo come combinazione lineare di questi ultimi e poniamo i coefficienti trovati come colonne della nostra matrice in questo caso:
$ ( ( -3 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
per risolvere il secondo punto dobbiamo introdurre una formula, chiamata formula di cambio base, note due basi possiamo scrivere la matrice secondo la base B sia nel dominio che nel codominio sapendo la matrice secondo la base B' sia nel dominio che nel codominio.
Indico con M(B B') come la matrice secondo la base B nel dominio e la base B' nel codominio.
[formule][u] $ M(B' B')= M(B B') M(B B)M(B'B) $ [/u][/formule]
$ M(B B')=(M(B'B))^-1 $
Quando sono presenti le basi canoniche calcolare M(B' B) risulta estremamente semplice in quanto è la matrice che ha per colonne i vettori della base B'.(con B indichiamo la base canonica)
$ M(B' B)=( ( 0 , 1 , -1 ),( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $
$ M(B B')=( ( 0 , 1 , -1 ),( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) ^-1 $
$ M(B B')=1/4( ( 1 , 1 , 2 ),( 1 , 1 , -2 ),( -3 , 1 , -2 ) ) $

La matrice cercata ovvero
M(BB) sarà uguale a:
$ M(BB)=1/4( ( 1 , 1 , 2 ),( 1 , 1 , -2 ),( -3 , 1 , -2 ) ) ( ( -3 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ( ( 0 , 1 , -1 ),( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $
$ M(BB)=1/4( ( 2 , -2 , 4 ),( -2 , 2 , 4 ),( -2 , 14 , -8 ) ) $