Stesso campo magnetico da cilindro o filo percorsi da stessa intensità?

[DavideGenova]

La versione tridimensionale della legge di Biot-Savart dice che il campo magnetico generato nel punto di coordinate \(\boldsymbol{r}\) da una distribuzione di corrente dfinita dalla densità \(\boldsymbol{J}\) è$$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\|^3}d^3x$$dove $V\subset\mathbb{R}^3$ è la regione dove la corrente è distribuita
Intuitivamente sono portato a credere che, se $V$ è un cilindro di raggio $R$ ed altezza $h$, il cui asse di simmetria è parallelo al versore $\mathbf{k}$, attraverso il quale scorre una corrente di densità uniforme \(\boldsymbol{J}\equiv J\mathbf{k}\), il campo magnetico generato \(\boldsymbol{B}\) sia uguale all'analoga espressione del campo generato da una distribuzione lineare uniforme di corrente che percorra un filo rellineo coincidente con l'asse del cilindro, cioè $$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_0^h\frac{\pi R^2 J \mathbf{k}\times(\boldsymbol{r}-z\mathbf{k})}{\|\boldsymbol{r}-z\mathbf{k}\|^3}dz.$$È così, per un cilindro e un filo finiti o, almeno, per un cilindro e un filo infiniti? Se sì, come si può dimostrare?
$\infty$ grazie per ogni risposta!!!

P.S.: Ho provato usando coordinate cilindriche, ma ciò che mi causa problemi è il denominatore... Quanto all'utilizzo della legge di Ampère per un cilindro infinito, ne escludo l'uso perché tutte le dimostrazioni che ho visto parlano di distribuzioni di corrente lisce (una dimostrazione rigorosa credo che possa essere questa, valida per \(\boldsymbol{J}\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\)), mentre qui \(\boldsymbol{J}\) è costante su $V$ e nullo al di fuori di esso, quindi neanche continua.
Posto qui perché ciò che mi interessa sono gli aspetti matematici della derivazione dell'uguaglianza, sempre che sia valida.

[dissonance]

Non sono sicuro di avere bene capito la domanda. Vuoi sapere se la formula valga anche per un filo infinito? In questo caso la risposta è: non lo so e potrebbe essere un problema difficile. L'anno scorso sono stato ad un seminario su un problema simile per un condensatore infinito:

https://math.univ-paris13.fr/laga/index ... -appliquee

(vedi seminario di Jeff Rauch di venerdì 13 febbraio 2015)

[DavideGenova]

Vuoi sapere se la formula valga anche per un filo infinito?

Grazie per la risposta! No, intendo dire: abbia il versore \(\mathbf{k}\) la direzione dell'asse del cilindro $V$, di altezza diciamo $h=b-a$ e raggio $R$.
Vale, assumendo \(\boldsymbol{r}\notin V\),$$\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{J\mathbf{k} \times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\|^3}d^3x=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\frac{\pi R^2 J \mathbf{k}\times(\boldsymbol{r}-z\mathbf{k})}{\|\boldsymbol{r}-z\mathbf{k}\|^3}dz$$per $a,b\in\mathbb{R}$ (o almeno per \(a=-\infty\) e \(b=+\infty\)¹)?

L'integrale a primo membro è il campo magnetico dato dalla versione tridimensionale della legge di Biot-Savart applicata al cilindro $V$ percorso da una corrente di densità definita da $$ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) = \begin{cases} J\mathbf{k}, &\boldsymbol{x}\in V \\ \mathbf{0}, &\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^3\setminus V \end{cases}$$mentre l'integrale a secondo membro è il campo dato dalla versione lineare della legge di Biot-Savart per un filo monodimensionale lungo quanto l'altezza del cilindro e posto dove si trova il suo asse, di parametrizzazione diciamo \([a,b]\to\mathbb{R}^3\),\(z\mapsto z\mathbf{k}\), in cui passi la stessa corrente $\pi R^2 J$ che attraversa appunto il cilindro.

---

Note

1. Dico "almeno" perché se vale per l'altezza finita direi che il passaggio al limite conserverebbe l'uguaglianza. ↑

[dissonance]

Aaaaaaahnn. Certe volte scrivi così tanti dettagli che mi ci perdo. La risposta è positiva ed è un fatto generale di integrali tripli. Hai una funzione $f=f(z)$ e vuoi calcolare
\[
I=\iiint_V f(z)dxdydz.\]
In coordinate cilindriche $\rho, \theta, z$ si ha \(dxdydz=\rho d\rho d\theta dz\), quindi
\[
I= \int_a^b f(z)dz\cdot \left(\int_0^R \rho d\rho \int_0^{2\pi}d\theta\right) =\pi R^2 \int_a^b f(z)dz. \]
(La quantità in parentesi tonde è l'area del cerchio di raggio $R$, come si poteva anche capire senza calcoli osservando che \(dxdy=\rho d\rho d\theta\)).

Spero stavolta di avere risposto alla tua domanda, ultimamente non ci riesco quasi mai purtroppo.

[DavideGenova]

Grazie ancora!!!

Hai una funzione $f=f(z)$

Non sono certo di seguire: la funzione integranda dipende solo da $z$? Il mio problema è che vedo solo che$$ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{J\mathbf{k} \times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\|^3}d^3x =\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\int_0^{2\pi}\int_0^R\frac{J\mathbf{k} \times(\boldsymbol{r}-(\rho\cos\theta\mathbf{i}+\rho\sin\theta\mathbf{j}+z\mathbf{k}))}{\|\boldsymbol{r}-(\rho\cos\theta\mathbf{i}+\rho\sin\theta\mathbf{j}+z\mathbf{k})\|^3}\rho\, d\rho d\theta dz$$ma non saprei come verificare che questo vale \(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\frac{\pi R^2 J \mathbf{k}\times(\boldsymbol{r}-z\mathbf{k})}{\|\boldsymbol{r}-z\mathbf{k}\|^3}dz\)...

[dissonance]

Hai ragione, ci vuole qualche considerazione in più sulla simmetria. Queste cose ricordo di averle viste all'università quando studiavo per Fisica 2... Se hai sottomano un manuale, come il Mazzoldi, potresti provare a dare un'occhiata, lì la risposta c'è di sicuro. (Se trovo il tempo lo faccio io)

[DavideGenova]

Hpotresti provare a dare un'occhiata, lì la risposta c'è di sicuro. (Se trovo il tempo lo faccio io)

Il mio manuale è il Gettys che, purtroppo, utilizza considerazioni di simmetria, ma insieme alla legge di Ampère \(\oint\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{r}=\mu_0 I\), che preferisco non usare (infatti ho postato in Analisi matematica per prescindere da considerazioni di natura fisica) perché non so se valga (e non avrei la minima idea di come dimostrare) nel caso di una densità \(\boldsymbol{J}\notin C_c^2(\mathbb{R}^3)\), com'è questa \(\boldsymbol{J}\)...

[dissonance]

Ovviamente, non sto riuscendo a trovare il tempo di rivedermi queste cose (peccato perché sono interessanti). Dico giusto un paio di parole. Se la dimostrazione basata sulla legge di Ampère ti convince, il fatto che $vec J$ non sia liscia non è un problema. Basta reinterpretare tutto nel linguaggio delle distribuzioni (o, se preferisci, delle misure). Nello specifico, una densità di corrente concentrata su un filo non è una funzione, ma una misura ottenuta come limite di una successione di funzioni. Immagina infatti di approssimare il filo con un cilindro molto stretto su cui è distribuita una corrente sotto forma di funzione liscia. Facendo tendere a zero il diametro del cilindretto si ottiene un filo. E' lo stesso principio dell'animazione che trovi in questa pagina:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function


Se ti interessano questi aspetti matematici, dovresti studiare un po' di analisi superiore, ma credo che questo ti porterebbe fuori strada dal punto di vista fisico. I libri di fisica più onesti dal punto di vista matematico tendono a dirlo nelle prime pagine: qui si rinuncia al massimo rigore matematico altrimenti di fisica non si capirebbe più niente.

E poi c'è questo manoscritto di Sharipov, che dichiara di trattare l'elettromagnetismo in modo completamente rigoroso:

http://arxiv.org/pdf/physics/0311011.pdf

ma non l'ho letto e non so se consigliartelo.

[DavideGenova]

Se ti interessano questi aspetti matematici, dovresti studiare un po' di analisi superiore, ma credo che questo ti porterebbe fuori strada dal punto di vista fisico.

Infatti. Se la legge di Ampère nella forma $$\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{\gamma}\int_V\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\|^3}d^3x\cdot d\boldsymbol{r}=\mu_0\int_{\Sigma}\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{N}_e d\sigma$$dove $\Sigma$ è una superficie di bordo $\gamma$, vale anche per \(\boldsymbol{J}\) costante sul cilindro infinito $V$ e nulla altrove, ho l'impressione che ciò potrebbe essere dimostrabile se esistesse una sequenza di \(\boldsymbol{J}_n\in C_c^2(\mathbb{R}^3)\) tale che $$\oint_{\gamma}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{J}_n(\boldsymbol{x}))\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}\|^3}d\mu_{\boldsymbol{x}}\cdot d\boldsymbol{r}\to 0\quad\text{e}\quad\int_{\Sigma}(\boldsymbol{J}-\boldsymbol{J}_n)\cdot\boldsymbol{N}_e d\sigma\to 0$$ma non mi sembra affatto una passeggiata...