equazione goniometrica 1

[Ellihca]

Buon Giorno !
Ho risolto la seguente equazione:
$ tan (x)*cos (x/2)+3*sin (x/2)=0 $
$ sin (x)/cos (x)*sqrt((1+cos(x))/2)=3*sqrt((1-cos(x))/2 $
elevando a quadrato i 2 membri, e svolgendo si ottiene:
$ (cos(x)-1)(8cos^2(x)-2cos(x)-1) $
Risolvendo:
$ cos(x)=1 $ ; $ x=2kpi $
l'eq. di 2° grado da:
$ cos(x)=1/2 $ ; $ x=+-pi/3+2kpi $
$ cos(x)=-1/4 $ ; $ x=+-arccos(-1/4)+2kpi $
però se provo a verificare quest'ultimo risultato nell'equazione di partenza, l'eq. non risulta soddisfatta...quindi $ cos(x)=-1/4 $ $ x=+-arccos(-1/4)+2kpi $ non è una soluzione...non capisco perchè...o cosa sbaglio...

Grazie in anticipo

[orsoulx]

Elevando al quadrato ambo i membri di un'equazione ottieni una nuova equazione che non è equivalente alla precedente. Nel senso che ammetterà sicuramente tutte le soluzioni della prima, ma assieme a quelle ne potrà avere altre che corrispondono al cambiamento del segno di uno dei membri nell'equazione iniziale.
Esempio banale: $ x=-3 $, elevando al quadrato $ x^2=9 \rightarrow x= +-3 $.
Occorre, pertanto, verificare i risultati ottenuti nell'equazione iniziale.
Purtroppo nella verifica che hai fatto devi aver sbagliato qualche calcolo, perché le soluzioni corrette sono proprio quelle che hai scartato, mentre non mi paiono accettabili $ x=+- \pi/3+2k\pi $.
Saresti arrivata, più rapidamente e senza problemi, ai risultati usando le formule di duplicazione e assumendo come incognita $ x/2 $.
Ciao
B.

[Ellihca]

Grazie per la risposta; ho capito il senso. Ho commesso un errore di segno nel riportare l'eq. di partenza che in realtà è:
$ tg(x)*cos(x/2)-3sen(x/2)=0 $
In virtù dell'elevamento al quadrato dei membri ottengo soluzioni "in più", che non soddisfano quella iniziale poichè:
$ (sin (x)/cos (x)*sqrt((1+cos(x))/2))^2=(+-3*sqrt((1-cos(x))/2 ))^2$
La cosa ora mi torna Grazie !

[orsoulx]

Prego. E buon lavoro.
Ciao
B.
PS Se hai voglia di approfondire, ti segnalo che le sostituzioni $ sin(x/2)=\sqrt((1-cos(x))/2) $ e $ cos(x/2)=\sqrt((1+cos(x))/2) $ non sono corrette. Prova a pensarci: sostituisci qualcosa che può essere positivo o negativo con espressioni mai negative.