Matrice associata ad applicazione lineare

[Shika93]

Devo determinare la matrice B di L nella base $B'={u_1,u_2,u_3}$
$u_1=e_1+e_2$
$u_2=e_2+e_3$
$u_3=e_1+e_3$
dove $e_1, e_2, e_3$ sono i vettori della base canonica di $RR^3$

Se ${u_1,u_2,u_3}$ fossero i vettori della base canonica, la matrice associata è immediata da scrivere. In questo caso però lo stesso approccio non funziona infatti non mi torna la matrice.
Il risultato è \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
Ma non mi viene. Io scrivere così come dicono i vettori \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Come devo fare?

[Shocker]

Ciao, $L$ come trasforma i vettori di $B'$?

[Shika93]

$L(e_1)=e_1+e_2$
$L(e_2)=e_2-e_3$
$L(e_3)=e_1+e_3$

Qui la matrice associata è giustamente \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}

[Shocker]

Ciao

Bene, quindi:
$L(u_1) = L(e_1 + e_2) = L(e_1) + L(e_2) = e_1 + e_2 + e_2 - e_3 = e_1 + 2e_2 - e_3$;
$L(u_2) = L(e_2 + e_3) = L(e_2) + L(e_3) = e_2 - e_3 + e_1 + e_3 = e_1 + e_2 = u_1$;
$L(u_3) = L(e_1 + e_3) = L(e_1) + L(e_3) = e_1 + e_2 + e_1 + e_3 = 2e_1 + e_2 + e_3$.


Quindi:
$L(u_1) = e_1 + 2e_2 - e_3$;
$L(u_2) = u_1$;
$L(u_3) = 2e_1 + e_2 + e_3$.

Come ben sai la matrice associata a un'applicazione lineare $L:V \to W$ rispetto alle basi $S = {v_1, ..., v_n}$ di $V$ e $T = {w_1, ..., w_m}$ di $W$ è definita così: $M_{S, T}(L) = | ([L(v_1)]_T, ..., [L(v_n)]_T)|$, cioè la matrice ha per colonne le coordinate dei vettori $L(v_1), ..., L(v_n)$ rispetto alla base $T$.

In questo caso $V = W = \mathbb{R^3}$, e le basi coincidono, quindi la matrice associata a $L$ ha per colonne le coordinate di $L(u_1), L(u_2), L(u_3)$ rispetto a $B' = {u_1, u_2, u_3}$.

Come trovi le coordinate di $L(u_1), L(u_2), L(u_3)$ rispetto a $B'$?
Una possibile strada è quella di risolvere le equazioni: $a_11u_1 + a_12u_2 + a_13u_3 = L(u_1)$, $a_21u_1 + a_22u_2 + a_23u_3 = L(u_2)$, $a_31u_1 + a_32u_2 + a_33u_3 = L(u_3)$, dove le incognite sono gli $a_(ij) \in \mathbb{R}$

Per esempio, calcoliamo le coordinate di $L(u_1)$: devo risolvere l'equazione $a_11u_1 + a_12u_2 + a_13u_3 = L(u_1)$, dato che $u_1 = e_1 + e_2 = ( (1), (1), (0))$, $u_2 = e_2 + e_3 = ( (0), (1), (1))$, $u_3 = ( (1), (0), (1))$ e $L(u_1) = e_1 + 2e_2 - e_3 = ( (1), (2), (-1))$, l'equazione diventa:

$a_11u_1 + a_12u_2 + a_13u_3 = L(u_1) \iff a_11 ( (1), (1), (0)) + a_12 ( (0), (1), (1)) + a_13( (1), (0), (1)) = ( (1), (2), (-1)) \iff { (a_11 + a_13 = 1), (a_11 + a_12 = 2), (a_12 + a_13 = -1):}$, la cui soluzione è $((2), (0), (-1))$, quindi la prima colonna della matrice associata a $L$ rispetto $B'$ è proprio $((2), (0), (-1))$.
Le altre coordinate si calcolano nello stesso modo.

Un'altra possibile soluzione è quella di sfruttare le matrici di cambiamento di base: a noi serve una matrice che trasformi le coordinate di un vettore $v$ di $\mathbb{R^3}$ rispetto alle base $B'$ nelle coordinare di $L(v)$ rispetto a $B'$. Adesso possiamo fare una furbata: spezziamo il processo il modo da poter utilizzare la matrice associata a $L$ rispetto alla canonica, che chiamo $M_C(L)$. Tale matrice trasforma le coordinate di $v \in \mathbb{R^3}$ rispetto alla canonica nelle coordinate di $L(v) \in \mathbb{R^3}$ rispetto alla canonica, quindi per poter sfruttare tale matrice dobbiamo darle in pasto coordinate rispetto alla canonica. Tuttavia noi partiamo da $B'$, come facciamo? Sfruttiamo i cambiamenti di base! Mi spiego meglio: prendo le coordinate di $v \in mathbb{R^3}$ rispetto a $B'$ e le trasformo nelle coordinate rispetto alla base canonica, poi passo queste coordinate a $M_C(L)$, la quale mi dà le coordinate di $L(v)$ rispetto alla canonica, infine passo le coordinate di $L(v)$ rispetto alla canonica alla matrice di cambiamento di base da $C$ a $B'$, che mi restituisce le coordinate di $L(v)$ rispetto a $B'$.

Dunque per poter costruire $M_(B')(L)$, cioè la matrice associata a $L$ rispetto a $B'$, ci servono $3$ matrici:
1)La matrice di cambiamento di base da $B'$ a $C$: $M_{B', C}(id)$;
2)La matrice associata a $L$ rispetto alla canonica: $M_C(L)$;
3)La matrice di cambiamento di base da $C$ a $B'$: $M_{C, B'}(id)$.

Infatti $M_(B')(L) = M_{C, B'}(id)*M_C(L)*M_{B', C}(id)$

Inoltre $M_{C, B'}(id) = (M_{B', C}(id))^{-1}$, quindi una volta calcolata $M_{B', C}(id)$ è facile risalire a $M_{C, B'}(id)$.
Prova a risolvere l'esercizio seguendo anche questa strada, se hai difficoltà basta postarle .

Ciao

[Shika93]

Decisamente meno astruso il secondo metodo e mi torna.
Quindi calcolo la matrice associata alla base $B'$ e la sua inversa e moltiplico.
Uso dei nomi diversi giusto per fare prima. La mia matrice $B$ la calcolo come $B=X^-1AX$ dove $X$ è la matrice associata alla base $B'$

$X=((1, 0, 1),(1, 1, 0),(0, 1, 1))$

$X^-1=((1/2, 1/2, -1/2),(-1/2, 1/2, 1/2),(1/2, -1/2, 1/2))$

Quindi

$B=((1/2, 1/2, -1/2),(-1/2, 1/2, 1/2),(1/2, -1/2, 1/2)) ((1, 0, 1),(1, 1, 0),(0, -1, 1)) ((1, 0, 1),(1, 1, 0),(0, 1, 1))= ((2, 1, 1),(0, 0, 0),(-1, 0, 1))$

Grazie mille

[Shika93]

Avrei quest'altro esercizio e vorrei capirne la differenza con quello sopra.

Ho 3 vettori che formano la base $B={v_1, v_2, v_3}$ $v_1=((1),(0),(1))$, $v_2=((1),(-1),(1))$, $v_3=((0),(1),(1))$
Devo trovare le equazioni di cambiamento di base da $B$ alla base canonica $B_c$

Dalla teoria so che il teorema di cambiamento di base dice che se $V$ spazio vettoriale reale di dimensione $n$:
$B_1={u_1, ..., u_n}$ è una base di $V \AA u\inV$, $X=[v]_{B_1}$
$B_2={v_1, ..., v_n}$ è una base di $V$, $X'=[v]_{B_2}$
allora esiste una matrice $M_{B_1,B_2}$ tale ce $X'=M_{B_2,B_1}X=X'=M_{B_1,B_2}^-1X$

Quindi l'esercizio lo risolverei in questo modo. $A=((1,1,0),(0,-1,1),(1,1,1))$
la inverto
$A^-1=((2,1,-1),(-1,-1,1),(-1,0,1))$ e trovo le equazioni

$X'=A^-1X \Rightarrow ((x'),(y'),(z'))=((2x+y-z),(-x-y+z),(-x+z))$

Per risolverlo non potevo usare la formula sopra per le applicazioni lineari? $B=X^-1AX$ dove $X$ è la matrice rappresentante la base canonica e $A$ è la matrice che ho scritto qua sopra.

[Shocker]

Per risolverlo non potevo usare la formula sopra per le applicazioni lineari? B=X−1AX dove X è la matrice rappresentante la base canonica e A è la matrice che ho scritto qua sopra.

Certo che puoi usare la formula, poiché la matrice di cambiamento di base è la matrice associata all'identità(che è un'applicazione lineare) rispetto a due basi. Tuttavia bisogna modificarla un po', generalmente per calcolare la matrice associata a un'applicazione lineare $L:V \to V$ rispetto a due basi $S , T$ si può usare questa 'formula': $M_{S, T}(L) = M_{C, T}(id)*M_{C, C}(L)*M_{S, C}(id)$(il ragionamento è pressoché identico a quello del post precedente), dove per $C$ intendo la base canonica. Nel nostro caso $S = B$, $T = C$ e $L = id$ quindi la formula diventa $M_{B, C}(id) = M_{C, C}(id)*M_{C, C}(id)*M_{B, C}(id) = M_{B, C}(id)$. Come vedi la formula ha prodotto un risultato sterile, in questo caso quindi è meglio calcolarla a mano(in generale è facile calcolare matrici di cambiamento di base che vanno da una base $B$ alla canonica, o viceversa).

Dimmi se ti torna il ragionamento.

[Shika93]

Ah ho capito. Quindi posso ricondurmi alla formula generale e poi adattarmi a quello che mi viene dato. Era tanto da capire se si trattava di due approcci diversi o era lo stesso, camuffato.