Dubbio con limite da calcolare con i limiti notevoli

[grindelwald]

Salve,
Ho risolto questo limite, mi trovo con il risultato del libro, però vorrei un parere. Il limite è questo:

$lim_{x\to1}(x*e^(tg(x-1))-e^(ln(x)))/(ln(1+arcsin(x-1)))$

La prima cosa che ho fatto ho effettuato una sostituzione: $y=x-1$. Manipolando un po' la funzione ottengo (salto alcuni passaggi):

$lim_{y\to0}((y+1)*e^(y*(tg(y))/y)-e^(y*ln(1+y)/y))/(ln(1+arcsin(y))/arcsin(y)*arcsin(y)/y*y)$ = $lim_{y\to0}(((y+1)*e^(y*(tg(y))/y)-e^(y*ln(1+y)/y))/y)/(ln(1+arcsin(y))/arcsin(y)*arcsin(y)/y)$

Sapendo che il denominatore tende ad 1, sposto l'attenzione solo sul numeratore:

$lim_{y\to0}((y*e^(y*(tg(y))/y))/y+(e^(y*tg(y)/y))/y-e^(y*ln(1+y)/y)/y)$. Il primo addendo tende a 1, gli altri due a zero. Quindi il limite vale 1.
Ho sbagliato qualcosa? Sono un pochino incerto sulla possibilità di moltiplicare e dividere per $y$ all'esponente.

[francicko]

$ lim_{y\to0}(((y+1)*e^(y*(tg(y))/y)-e^(y*ln(1+y)/y))/y)/(ln(1+arcsin(y))/arcsin(y)*arcsin(y)/y) $, in questo passaggio ti sei dimenticato di riportare una $y $ a denominatore, infatti e' :$lim_{y\to0}(((y+1)*e^(y(tg(y))/y)e^(y*ln(1+y)/y))/y)/(ln(1+arcsin(y))/arcsin(y)*arcsin(y)/y×y) $
da cui si ha :
$lim_(y->0)((1+y)e^y-e^y)/(1×1×y) $ $=lim_(y->0)(e^y×(1+y-1))/y $ $=lim_(y->0)e^y×y/y $ $=lim_(y->0)e^y=e^0=1$

[Cosmo123]

Sinceramente non comprendo a cosa può servirti imporre y

[francicko]

Sinceramente non comprendo a cosa può servirti imporre y

Perche' con la sostituzione $y=x-1$, ha messo in evidenza la forma per applicare i limiti notevoli e poter così eliminare l'indeterminazione $0/0$!

[grindelwald]

Capito, grazie. Quindi le varie moltiplicazioni e divisioni sono lecite?

[francicko]

Sì, in quanto hai operato negli esponenti ed a denominatore , dove non compaiono somme o differenze, diversamente si potrebbe avere il coinvolgimento di termini successivi al primo, ed allora i limiti notevoli potrebbero non bastare e bisognerebbe passare allo sviluppo in serie di taylor oltre il primo termine;