Sistema impossibile

[alex16]

Come si risolve il seguente sistema di due equazioni di grado superiore al secondo? 1 equazione x^2-y^2+x+y=0 e 2 equazione y^2-2x^2=1

[axpgn]

Il sistema è questo?

${(x^2-y^2+x+y=0),(y^2-2x^2=1):}$

Se è questo, le soluzioni sono $(0,1)$ e $(2,3)$ ma le ho trovate ad occhio ...

[axpgn]

Volendo si può fare così ...

$ {(x^2-y^2+x+y=0),(y^2-2x^2=1):} $

Sommi membro a membro ed ottieni $-x^2+x+y=1$ da cui ricavi $y$ ovvero $y=x^2-x+1$, sostituisci la $y$ nella seconda equazione ed ottieni $x^4-2x^3+x^2-2x=0\ =>\ x(x^3-2x^2+x-2)=0$ da cui si vede subito che una soluzione è $x=0$, mentre usando ruffini si trova l'altra soluzione $x=2$

[alex16]

Il sistema è questo?

$ {(x^2-y^2+x+y=0),(y^2-2x^2=1):} $

Se è questo, le soluzioni sono $ (0,1) $ e $ (2,3) $ ma le ho trovate ad occhio ...

Si, il sistema è questo. E anche le soluzioni sono giuste. Come ci sei arrivato?

[alex16]

Volendo si può fare così ...

$ {(x^2-y^2+x+y=0),(y^2-2x^2=1):} $

Sommi membro a membro ed ottieni $-x^2+x+y=1$ da cui ricavi $y$ ovvero $y=x^2-x+1$, sostituisci la $y$ nella seconda equazione ed ottieni $x^4-2x^3+x^2-2x=0\ =>\ x(x^3-2x^2+x-2)=0$ da cui si vede subito che una soluzione è $x=0$, mentre usando ruffini si trova l'altra soluzione $x=2$

E faresti la stessa cosa per trovare anche la y quindi?

[axpgn]

Per la $y$ è sufficiente sostituire la $x$ nel sistema facendo però attenzione a verificare la compatibilità ...

Per esempio, sostituisco $x=0$ nella seconda ed ottengo $y^2=1\ =>\ y=+-1$; come verifica sostituisco questi valori, uno per volta, nella prima e trovo che la coppia $(0,1)$ è accettabile mentre l'altra $(0,-1)$ no.

[igiul]

Si può anche risolvere in quest'altro modo:
la prima equazione, scomponendo la differenza di due quadrati e raccogliendo a fattor comune, si può scrivere

$(x+y)(x-y+1)=0$

da cui i due sistemi

$ {(x+y=0),(y^2-2x^2=1):} $

$ {(x-y+1=0),(y^2-2x^2=1):} $

Il primo è impossibile mentre il secondo dà le soluzioni.