Studiare la convergenza di un integrale

[Gio2312]

Buongiorno
Volevo sapere il procedimento per studiare la convergenza di un integrale,ho già visto diversi siti internet su questo argomento ma mi risulta tutto abbastanza confuso.

Porto un esempio di integrale che ho provato a studiare e vorrei sapere se sto quantomeno procedendo per il verso giusto

$ int_(0)^(\infty) e^(-x/2)/(sqrt(e^x+e^-x) $

da quanto ho capito devo innanzi tutto calcolare il lim della funzione per x tendente ad infinito e se il limite è zero viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza

la condizione è soddisfatta perchè il $ lim_(x ->\infty) e^(-x/2)/(sqrt(e^x+e^-x))=0 $

Studio quindi la funzione in un intorno di x=0 facendo il limite per x tendente a 0 della funzione
poichè x tende a 0 posso sostituire utilizzando gli sviluppi di McLaurin e il limite esce $ 1/sqrt2 $
di cui va fatto l 'integrale che è $ x/sqrt2 $
Ora sinceramente ho dei dubbi perchè non ho capito se poichè sto studiando la funzione in un intorno di x=0 devo andare a sostituire in $ x/sqrt2 $ con x=0 e dire che poichè $ 0/sqrt2 $ = 0 allora l'integrale converge.
Anche supponendo che qui abbia svolto tutto bene dovrei procedere con lo studio dell'integrale per x tendente ad infinito, ma tecnicamente non l'ho già fatto quando ho detto che viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza?

[Cesare_VR]

1) La funzione è definita in $x=0$, pertanto non bisogna utilizzare alcun criterio semplicemente perchè non ha senso parlare di convergenza;
2) Il fatto che il limite sia zero non implica la convergenza a $+oo$, è una condizione necessaria ma non sufficiente! Devi quindi studiare il comportamento a più infinito della funzione, anche se in questo caso non richiede molto lavoro

[Gio2312]

Grazie della risposta ho provato così:

per x maggiore di 0 $ e^(-x/2)$ è compresa tra 0 ed 1 quindi

0$<=$ $ e^(-x/2)/sqrt(e^x+e^-x)$ $<=$ $ 1/sqrt(e^x+e^-x)$

$ 1/sqrt(e^x+e^-x)$ è asintoticamente equivalente a $ 1/e^x$ ( almeno per come ho capito le stime asintotiche) che è asintoticamente equivalente a $ 1/x^2$ che converge quindi converge anche l'integrale di partenza

Ho un dubbio però... l'integrale di 1/x^2 converge quando gli estremi vanno da alpha ad infinito con alpha maggiore di 0,ma io nell'esercizio ho come estremi 0 ed infinito. Devo spezzare l'integrale in una somma di integrali in modo da ottenere per esempio $ int_(0)^(1) e^(-x/2)/(sqrt(e^x+e^-x) $$+ int_(1)^(\infty) e^(-x/2)/(sqrt(e^x+e^-x)$

è giusto? ho iniziato l' argomento da poco quindi chiedo scusa se ho scritto delle cose che magari non hanno il minimo senso

[anto_zoolander]

Ma puoi anche calcolarlo esplicitamente? Perché non mi sembra un integrale particolarmente difficile.

[Gio2312]

Non devo risolverlo calcolando l'integrale perchè è l'esercizio a dirmelo

[Vulplasir]

Non è semplice spiegare tutta la teoria degli integrali impropri in poche righe, quindi il mio consiglio è di riguardare per bene tutta la teoria e i metodi per stabilire se un integrale è convergente o meno.

Ritornando al caso in questione, come ti è stato detto. la funzione integranda è definita e continua in ogni intervallo del tipo $[0,a]$, quindi per ogni $a>0$ esiste finito $int_(0)^(a)f(x)dx$, essendo f(x) la funzione del tuo esercizio. Rimane quindi solo da vedere come si comporta f(x) all'infinito. Ci sono due teoremi utili in questo caso: 1) il primo dice che se f(x) all'inifinito è asintotico a $1/(x^n)$, con $n>1$, allora l'integrale di f(x) converge, 2) Il secondo dice che se esiste un $n$ tale che f(x) all'inifinito è un infinitesimo di ordine maggiore di $1/(x^n)$, allora l'integrale di f(x) converge.

Nel nostro caso, f(x) all'inifinito è asintotico a $1/(e^x)$ ( e fin qui hai detto bene), ma non è assolutamente vero che $1/(e^x)$ è asintotico a $1/x^2$.
Infatti $e^x$, per x che tende a infinito, è un infinito di ordine maggiore di qualsiasi $x^n$, di conseguenza, $1/(e^x)$ all'infinito è un infinitesimo di ordine maggiore di qualsiasi $1/(x^n)$, pertanto $1/(e^x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore di $1/x^2$, e in base al secondo teorema, l'integrale è convergente.

[Gio2312]

Grazie mille