Da dove proviene questo esercizio? Le serie con \( \sin (n) \) tra le scatole sono in genere piuttosto rognose da studiare.
Si può mostrare che la serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{ \sin ( x n)}{n} \]converge per ogni \( x \in \mathbb{R} \) (cfr.
Real Infinite Series -
Bonar,
Khoury), e la dimostrazione fa uso del
criterio di Dirichlet; puoi applicare il medesimo criterio al tuo caso, ma devi prima mostrare che \[ \left| \sum_{k=1}^N \sin (n) \right| \le M \] per ogni \(N \in \mathbb{N}\). Mi pare di ricordare che usando la
formula di Eulero per il seno sia possibile scrivere quest'ultima sommatoria mediante una formula chiusa. Provaci; se non ci riesci provo ad aggiungere altri dettagli non appena ho del tempo.
