Generalizzare da funzione caratteristica ad integrabile

[DavideGenova]

Sto leggendo su F.J. Jones, Lebesgue integration on Euclidean space, la dimostrazione del fatto che, se $u:[a,b]\to\mathbb{R}$ è una funzione assolutamente continua non decrescente e \(f\in L^1(u(a),u(b))\), allora \((f\circ u)\cdot u'\in L^1[a,b]\) e $$\int_{[u(a),u(b)]}f(x) d\mu_x=\int_{[a,b]}f(u(x))u'(x)d\mu_x.$$
Il testo dimostra l'asserto per \(f=\chi_E\) dove \(\chi_E\) è la funzione caratteristica dell'insieme $E\subset[a,b]$ misurabile.
Quindi il testo segue: The extension to general nonnnegative measurable $f$ and then to general \((f\circ u)\cdot u'\in L^1[a,b]\) is routine and we omit the details.
Essendo la mia unica esperienza con dimostrazioni relative all'integrazione alla Lebesgue con il Kolmogorov-Fomin e il suo stile stringato e a volte per me incomprensibile non ho idea di che routine seguire...
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come si generalizza da \(\chi_E\) a una generica \((f\circ u)\cdot u'\in L^1[a,b]\)?
$\infty$ grazie!

[gugo82]

L'idea è quella di sfruttare i vari teoremi della teoria per ottenere ciò che si vuole.

Lo schema è, grosso modo, il seguente.
Una volta fatta la dimostrazione per le funzioni caratteristiche degli insiemi misurabili, la proprietà vale anche per le funzioni semplici misurabili (una funzione semplice è combinazione lineare di funzioni caratteristiche di misurabili).
Fatta la dimostrazione per le funzioni semplici, la proprietà vale anche per le funzioni positive integrabili (poiché ognuna di esse si può approssimare con funzioni semplici positive).
Acquisita la tesi per funzioni integrabili positive, la proprietà vale pure per le funzioni sommabili (poiché basta ragionare sulla parte positiva e la parte negativa).

Prova un po'.

[DavideGenova]

Fatta la dimostrazione per le funzioni semplici, la proprietà vale anche per le funzioni positive integrabili (poiché ognuna di esse si può approssimare con funzioni semplici positive).

Grazie a questo osservo che esistono funzioni misurabili $f_n: [u(a),u(b)]\to[0,+\infty)$ assumenti finiti valori tali che, per ogni $f\in L^1[u(a),u(b)]$ non negativa ed ogni $x\in [u(a),u(b)] $,$$f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f(x)\text{ e }f_n(x)\to f(x)$$

Ora, il teorema di Beppo Levi garantisce che, se $\varphi_1(x)\le \varphi_2(x)\le\ldots$, con $\varphi_n\in L^1(X)$, e se \(\exists K:\forall n\quad\int_X \varphi_nd\mu\le K\), allora esiste finito quasi ovunque il limite $\lim_n \varphi_n(x)$ e \(\lim_n\int_X \varphi_nd\mu=\int_X\lim_n \varphi_n d\mu\).

Tali condizioni sono soddisfatte sia dalle nostre $f_n\to f$ sia dalle $(f_n\circ u)\cdot u'\to (f\circ u)\cdot u'$, che sono tali che \(\int_{[u(a),u(b)]}f_n d\mu=\int_{[a,b]}(f_n\circ u)\cdot u'd\mu\le\int_{[u(a),u(b)]}f d\mu\), per cui $$\int_{[a,b]}(f\circ u)\cdot u'd\mu=\lim_n\int_{[a,b]}(f_n\circ u)\cdot u'd\mu=\lim_n \int_{[u(a),u(b)]}f_n d\mu=\int_{[u(a),u(b)]}f d\mu$$

Sembra giusto?

[Delirium]

Sembra di sì. Comunque, a spanne, parecchi risultati di Analisi Reale (e anche di Analisi Funzionale, invero) si ottengono con argomenti di densità. In particolare è fondamentale il seguente risultato:

Proposizione. Sia \( (X,\mathcal{M})\) uno spazio misurabile. Per ogni funzione misurabile positiva a valori nella retta estesa \(f:X \to \tilde{ \mathbb{R}} \) esiste una successione crescente \(\varphi_n\) di funzioni positive, misurabili e semplici che converge puntualmente ad \(f\), \(\varphi_n \nearrow f\). La convergenza è inoltre uniforme nei sottoinsiemi di \(X\) sui quali \(f\) è limitata.

Del resto la teoria dell'integrazione alla Lebesgue, almeno per come la espongono Folland e quindi De Marco, si costruisce partendo da funzioni semplici. È spesso ragionevole cercare di capire se proprietà condivise dalla funzioni semplici si "scarichino" su funzioni misurabili (in virtù della Proposizione, e di altri risultati).

[DavideGenova]

Grazie!!! W. Rudin, Analisi Reale e Complessa, § 1.17 dimostra la proposizione eccetto

La convergenza è inoltre uniforme nei sottoinsiemi di \(X\) sui quali \(f\) è limitata.

che mi sembra però interessante di suo. Hai mica un riferimento ad una dimostrazione (o voglia di scriverne una)?