Ciao a tutti,
è mezzo pomeriggio che sto inchiodata su un passaggio della dimostrazione che se (A, d) è un anello locale ed è un PID, allora è euclideo.
Incollo uno screenshot del libro (A* è l'insieme degli elementi invertibili di A):
Non ho capito quattro cose, riferite alla frase sottolineata:
1) se ogni elemento $a$ diverso da zero dell'anello si scrivesse $a = cp^n$, allora $a$ non apparterrebbe a (p), che verrebbe a coincidere con $A-{0}$?
2) perché $c$ invertibile?
3) perché si sta usando il fatto che A è un UFD?
4) dove si sta usando il fatto che (p) è primo?
Avevo pensato, per la prima parte della 1):
se A non è un campo, in A ci sarà un elemento non invertibile diverso dallo zero e si hanno due casi:
i) $a\in(p)$
oppure
ii) se $ a\notin(p)$ , considero $(a) + (p) = (b)$. Poiché $(p)$ è massimale, $(p) = (b)$, quindi $(a) + (p) = (p)$: assurdo perché $a \notin p$ nel caso che stiamo considerando. Quindi $a \in (p)$ e si scrive come $a = cp^n$. Non sono convinta, però, perché il libro dice "Poiché A è UDF"; inoltre non ho ancora giustificato perché $c$ sarebbe invertibile...
grazie!