Chiusura di un insieme!

[Gaussiana]

Ciao a tutti! Sono nuova qui
Mi presento, sono una studentessa della laurea triennale in Matematica di Torino e di Geometria non ci capisco niente!
Complimenti al forum per l'ottima iniziativa a cui spero di poter contribuire presto anche io!

Sto iniziando a cimentarmi con Geometria 2, ma sono già incastrata con un esercizio che dovrebbe esser semplice
Se qualcuno mi desse una dritta apprezzerei molto!

Ecco il mio esercizio:
Sul piano $R^2$ si consideri la famiglia T formata dall'insieme vuoto, da $R^2 $ e da tutti i dischi aperti $ {x^2 + y^2 <r^2}$, per r>0. Dimostrare che si tratta di una topologia e determinare la chiusura dell'insieme $ {xy=1}$.


Mia soluzione:
Per la prima parte, credo di essermela cavata:
A1 l'insieme vuoto ed $R^2 $ sono aperti
A2 se chiamo Di i dischi aperti posso scrivere D1<D2 <...<Dn e allora $\bigcup_{i=1}^{k>i} Di = Dk$ e quindi essendo ancora un disco è aperto
A3 $Di\bigcap Dk = Dm $ con m il minimo tra i e k è ancora un disco anche in questo caso e quindi è un aperto.

Per la seconda parte non so cosa fare: devo trovare un disco con la proprietà ${xy=1}$ ? quindi sarebbe ${x^2 + y^2 <=r^2}$ con ${xy=1}$... ma mi sembra troppo banale... ... qualcuno sa darmi uno spunto?

Grazie mille in anticipo!

[kamal19]

Ciao
$P={(x,y) \in R^2 : xy=1}$ è un chiuso. Infatti consideriamo la funzione f: $R^2$ ----> $R^2$ ad ogni coppia $(x,y)$ associamo $f(x,y)=xy-1$, è ovvio che $f$ si una funzione continua (come prodotto e somma di funzione continue), si vede che $P=f^{-1}{0}$, siccome ${0}$ è un insieme chiuso lo è anche $P$ usando un teorema del corso.

[Gaussiana]

Seguo il tuo ragionamento... quindi mi stai dicendo che non centra nulla con la prima parte dell'esercizio?
...non avevo capito nemmeno cosa mi chiedesse l'esercizio! grazie allora!

[spugna]

Ciao
$P={(x,y) \in R^2 : xy=1}$ è un chiuso. Infatti consideriamo la funzione f: $R^2$ ----> $R^2$ ad ogni coppia $(x,y)$ associamo $f(x,y)=xy-1$, è ovvio che $f$ si una funzione continua (come prodotto e somma di funzione continue), si vede che $P=f^{-1}{0}$, siccome ${0}$ è un insieme chiuso lo è anche $P$ usando un teorema del corso.

Con questo ragionamento dimostri che $P$ è chiuso rispetto alla topologia euclidea, ma rispetto a quella data dal problema direi proprio che non lo è..!

[spugna]

Per definizione di chiusura stai cercando il più piccolo insieme chiuso che contiene $P$, oppure, passando al complementare, il più grande aperto che non interseca $P$, ma dato che sai esattamente come sono fatti gli aperti si tratta semplicemente di impostare una disequazione..!

[kamal19]

Ciao
$P={(x,y) \in R^2 : xy=1}$ è un chiuso. Infatti consideriamo la funzione f: $R^2$ ----> $R^2$ ad ogni coppia $(x,y)$ associamo $f(x,y)=xy-1$, è ovvio che $f$ si una funzione continua (come prodotto e somma di funzione continue), si vede che $P=f^{-1}{0}$, siccome ${0}$ è un insieme chiuso lo è anche $P$ usando un teorema del corso.

Con questo ragionamento dimostri che $P$ è chiuso rispetto alla topologia euclidea, ma rispetto a quella data dal problema direi proprio che non lo è..!

Scusa hai ragione non ho letto la prima parte

[Gaussiana]

Giusto per capire se ho effettivamente capito:

posso procedere riscrivendo $xy=1$ come $y=1/x$, e quindi vedendola come iperbole ha senso che cerchi i dischi aperti che NON intersecano tale iperbole, ottenendo $x^2 + y^2 <1$...
Quindi concludo riprendendo il complementare e ottenendo $x^2 + y^2 >=1$ come chiusura del mio insieme $xy=1$.

Ha senso qualcosa di quel che ho scritto?
Grazie mille

[spugna]

Giusto per capire se ho effettivamente capito:

posso procedere riscrivendo $ xy=1 $ come $ y=1/x $, e quindi vedendola come iperbole ha senso che cerchi i dischi aperti che NON intersecano tale iperbole, ottenendo $ x^2 + y^2 <1 $...
Quindi concludo riprendendo il complementare e ottenendo $ x^2 + y^2 >=1 $ come chiusura del mio insieme $ xy=1 $.

Ha senso qualcosa di quel che ho scritto?
Grazie mille

Sì, però devi prendere il cerchio più grande possibile, quindi devi capire per quali valori di $r$ l'equazione $x^2+1/x^2<r^2$ non ha soluzioni e prendere il valore massimo: se fai i conti opportuni vedrai che $r=1$ non è la scelta migliore...

[kamal19]

Questo potrebbe aiutarti
$x^2+\frac{1}{x^2}<r^2$ cioé $x^4-x^2r^2+1<0$
Ponendo $t=x^2$, la disequazione diventa $t^2-r^2t+1<0$, questa disuguaglianza non ammette soluzioni se e solo se il descriminante è negativo cioè $r^4-4<0$ cioè $-\sqrt{2} <r<\sqrt{2}$

[spugna]

$t^2-r^2t+1<0$, questa disuguaglianza non ammette soluzioni se e solo se il descriminante è negativo cioè $r^4-4<0$ cioè $-\sqrt{2} <r<\sqrt{2}$

Piccolo (ma non troppo) dettaglio: in realtà va bene anche $r=\sqrt{2}$, in accordo col fatto che deve esistere un valore massimo (e non semplicemente un estremo superiore).