Costruzione di nuovi numeri

[Imprenditore5]

Qualcuno mi aiuta nella costruzione di numeri come 9,(9)0 come descritto all'indirizzo http://www.academia.edu/25793379/9_9_0 dove dovevo scrivere “a = 0,(9)” (ed in seguito nella costruzione di numeri come 0,1(2)(3)4(5)6)? Scrivetemi pure all'indirizzo di posta elettronica [email protected].

Massimo Dacasto

[anto_zoolander]

Parli tipo di 0,99999=1?

[Imprenditore5]

Parlo proprio di questo argomento: per quale motivo di filosofia della matematica un algoritmo insegnato alle elementari incolonnando numeri non deve valere anche per numeri periodici?
Le formule scritte se non inserite in un contesto non dicono niente.

[anto_zoolander]

Vediamo di capirci. Quando scrivi $(k)$ la cifra dentro parentesi è quella periodica? Tipo $n=2,(234)$ allora il numero è tipo $n=2,234234234...$

Se è sì, potresti trovare soluzione in questa spiegazione:

Considera che poichè si parla di numeri periodici, sono razionali e pertanto è possibile esprimerli sotto forma di frazione. Sostanzialmente il modo di trasformare periodico in uno sotto forma di frazione è questo:

Vogliamo dimostrare che vale questa uguaglianza $0,overline{9}=1$ ma come possiamo vedere il numero $0,overline{9}$?

$0+9/10+9/100+9/1000+...=0+sum_(n=1)^(infty)9/10^n$

Questa in particolare è una serie geometrica di ragione $|q|<1$ dunque convergente.

$sum_(n=1)^(infty)9/10^n=9sum_(n=0)^(infty)1/10^n-9=9/(1-1/10)-9=10-9=1$

Il discorso filosofico è basato sul fatto che bisogna ragionare all'infinito, tipo: il numero periodico $0,99..$ quanto dista dal numero $1$ se l'espansione decimale di quel numero, è un numero sempre meno distante da $1$? Se ragioni all'infinito i numeri sono equivalenti. Infatti posso sempre prendere, passami il termine, un $9$ in più in modo tale che la distanza diminuisca. Ma se posso aggiungere sempre un $9$, la distanza tende a zero, ovvero i numeri tendono a coincidere.

Oppure che ne so... Quanto fa $10*1,overline{2}$? Ragioniamo analogamente:

$10[1+sum_(n=1)^(infty)2/10^n]=10[1+2sum_(n=0)^(infty)1/10^n-2]$

$10[1+2/(1-1/10)-2]=10[-1+(2*10)/9]=10[(20-9)/9]=110/9$

$110/9=90/9+18/9+2/9=10+2+0,overline{2}=12,overline{2}$

Dunque possiamo concludere che $10*1,overline{2}=12,overline{2}$

Solitamente le cose che non hanno un buon motivo di esistere nella testa di una persona vengono dimenticate. Come l'algoritmo per portare da forma decimale a frazione un numero. Potresti considerare la relazione 'essere periodico' e vedere di quali proprietà gode rispetto alla somma, moltiplicazione ecc.. Ad esempio:

$2,overline{234}+1,overline{2}=3,overline{456}$

Naturalmente se è volto ai fini dell'insegnamento può starci, ma in generale IMHO un matematico non lavora con queste quantità perché gli interessa il ragionamento, un fisico o un ingegnere per gestire queste quantità usano i calcolatori. Naturalmente ribadisco che l'ultima frase è tutta molto IMHO. Se io devo fare calcoli con carta e penna, gestisco solo frazioni, radici, logaritmi, etc. A meno che non si richieda che un numero sia scritto in forma decimale: $log(37)+arctan(2)$ rimane tale

[Imprenditore5]

Hai scritto che se si aggiunge sempre un 9 la distanza tende a 0, non significa che sia uguale a 0.

[anto_zoolander]

considera la successione $a_k=1$, e la successione $b_k=sum_(n=0)^(k)9/10^n$

È chiaro che se considerassi la somma parziale fino a un certo numero, tipo.. $3$ il numero non sarebbe più periodico, equivalentemente non lo sarebbe più se la fermassi a un qualunque $n_0inNN$. Quindi bisogna considerare la serie. Dietro non c'è solo la questione filosofica della costruzione del numero, ma c'è anche l'idea di limite e del concetto di infinito.

Prendiamo ora $c_k=a_k-b_k$ ovvero:

$d_k=1-sum_(n=1)^(k)9/10^n$

Chiaramente la successione rappresenta la distanza tra i due numeri rispetto ai numeri naturali. Infatti per $n=2$ avremmo:

$a_2=1-0,99=0,01$

Ora proviamo a considera la distanza che ci interessa tra le due, ovvero $0$.

$c_k=1-sum_(n=1)^(k)9/10^n$

$c_k=1-sum_(n=1)^(k)9/10^n+9-9=10-sum_(n=0)^(k)9/10^n$

$c_k=10-9(1-1/10^(k+1))/(1-1/10)=10-(10^(k+1)-1)/10^k=1/10^k=0$

Dunque dopo quei conti otteniamo $c_k=1/10^k$ ovvero la nostra successione che rappresenta la distanza tra quelle due quantità. Ora è chiaro che non esiste un valore tale che sia $c_k=0$ ma la situazione va considerata a limite:

$1-sum_(n=0)^(infty)9/10^n=lim_(k->+infty)1/10^k=0$

Note matematiche

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Questo cosa vuol dire? Che comunque prenda un valore piccolo a piacere(positivo), ne esisterà un altro che dipenderà da quello precedentemente scelto, tale che se prendessi $k$ maggiore di quest'ultimo, la distanza sarebbe minore di quel valore piccolo precedentemente scelto. Ora in simboli risulterebbe così:

$forallepsilon>0 existsp_epsilon>0:k>p_epsilon=>|10^(-k)-0|<epsilon$

Fine note matematiche

Quanto puoi dire che sia vero che: $1>0,overline{9}$? Concettualmente bisogna vedere cosa si intenda per $overline{a}$, ovvero cosa rappresenti. Ragionandoci, potrebbe essere esso stesso un modo per rappresentare ciò che altrimenti sarebbe inteso sotto-forma di limite. Infatti la scrittura $0,overline{9}$ rappresenta una sequenza infinita di $9$. Molti pensano che in realtà arrivi comunque a parare da qualche parte, ma non ci arriva, poiché è un numero che non si può 'acchiappare'. In effetti quella scrittura intende un valore limite, visto che l'infinito lo trattiamo come caso limite!

Se questo non dovesse bastare, considera il numero $a=1/3$ ovvero $a=0,overline{3}$ le equazioni sono entrambe vere, solo scritte in due modi equivalenti. Per il secondo principio di monotonia delle equazioni, moltiplicando e dividendo per uno stesso numero, l'equazione di partenza è del tutto equivalente. Bene, in virtù di questo principio, moltiplichiamo per $3$.

$3a=3*1/3=1$ e $3a=3*0,overline{3}$

Ma allora $1=0,overline{9}$

La riluttanza nell'accettare questa identità è data, probabilmente, dalla non accettazione del concetto di infinito e ciò che esso rappresenti in matematica. Di fatto quanto puoi dire che $1$ sia minore di $0,overline{9}$ se la distanza tra i due numeri è qualcosa che di per se non esiste? E il motivo per il quale non esiste, è proprio dato dal fatto che i $9$ che nella testa di un essere umano vengono comunque pensati come finiti, in realtà non lo sono.