Allora, diciamo le cose per bene. Il campo elettrostatico, ossia il campo elettrico generato da una distribuzione statica di cariche, è conservativo. Non so se hai fatto qualcosa di analisi 2, ma il concetto è, in parole povere questo: dato un campo vettoriale $vec(F)=(F_x,F_y,F_z)$ nello spazio, si dice che esso è conservativo se, dati due punti A e B nello spazio, l'integrale: $int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)$ dipende solo da A e da B e non dalla particolare curva percorsa per andare da A a B (occhio che quell'integrale non è un normale integrale, ma è un integrale di linea di un campo vettoriale lungo una curva, quindi non ha senso parlare di primitive), dato che dipende quindi solo da A a B, esiste un campo scalare $phi(x,y,z)$ tale che:
$int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)$ (questa cosa si può scrivere SOLO quando il campo vettoriale è conservativo, in tutti gli altri casi no).
Se adesso si considera il campo elettrostatico $vec(E)=(E_x,E_y,E_z)$, esso è conservativo e quindi si può scrivere:
$int_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)$
Per convenzione, si definisce il potenziale elettrico come $V(x,y,z)=-phi(x,y,z)$, quindi la precedente relazione diventa:
$int_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)=V(A)-V(B)$
Perché se fa questa cosa? semplicemente per convenzione, perché per convenzione in questo modo le cariche positive si muovono da potenziali maggiori verso potenziali minori, che è quello che si vuole imporre, sempre per convenzione. E' la stessa cosa che si fa per l'energia potenziale gravitazionale, per fare in modo che i corpi si spostino naturalmente verso zone a potenziale minore.
Se hai a che fare con un campo non conservativo, la quantità $int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)$ dipende dalla curva che collega A e B in cui si calcola l'integrale, quindi non si può scrivere la relazione scritta per campi conservativi.
Quello che ho scritto sopra è noto come teorema del gradiente: dato un campo vettoriale $vec(E)$, se esso è conservativo allora esiste un campo scalare $phi$ tale che: $vec(E)=gradphi$, per quanto detto sopra, se si definisce il potenziale elettrico come $V=-phi$, si ha la famosa relazione:
$vec(E)=-gradV$