Significato fisico segno ddp

[Vulplasir]

Allora, diciamo le cose per bene. Il campo elettrostatico, ossia il campo elettrico generato da una distribuzione statica di cariche, è conservativo. Non so se hai fatto qualcosa di analisi 2, ma il concetto è, in parole povere questo: dato un campo vettoriale $vec(F)=(F_x,F_y,F_z)$ nello spazio, si dice che esso è conservativo se, dati due punti A e B nello spazio, l'integrale: $int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)$ dipende solo da A e da B e non dalla particolare curva percorsa per andare da A a B (occhio che quell'integrale non è un normale integrale, ma è un integrale di linea di un campo vettoriale lungo una curva, quindi non ha senso parlare di primitive), dato che dipende quindi solo da A a B, esiste un campo scalare $phi(x,y,z)$ tale che:

$int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)$ (questa cosa si può scrivere SOLO quando il campo vettoriale è conservativo, in tutti gli altri casi no).

Se adesso si considera il campo elettrostatico $vec(E)=(E_x,E_y,E_z)$, esso è conservativo e quindi si può scrivere:

$int_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)$

Per convenzione, si definisce il potenziale elettrico come $V(x,y,z)=-phi(x,y,z)$, quindi la precedente relazione diventa:

$int_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)=phi(B)-phi(A)=V(A)-V(B)$

Perché se fa questa cosa? semplicemente per convenzione, perché per convenzione in questo modo le cariche positive si muovono da potenziali maggiori verso potenziali minori, che è quello che si vuole imporre, sempre per convenzione. E' la stessa cosa che si fa per l'energia potenziale gravitazionale, per fare in modo che i corpi si spostino naturalmente verso zone a potenziale minore.

Se hai a che fare con un campo non conservativo, la quantità $int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)$ dipende dalla curva che collega A e B in cui si calcola l'integrale, quindi non si può scrivere la relazione scritta per campi conservativi.

Quello che ho scritto sopra è noto come teorema del gradiente: dato un campo vettoriale $vec(E)$, se esso è conservativo allora esiste un campo scalare $phi$ tale che: $vec(E)=gradphi$, per quanto detto sopra, se si definisce il potenziale elettrico come $V=-phi$, si ha la famosa relazione:

$vec(E)=-gradV$

[ralf86]

Adesso parti dal polo A e vai verso il polo B facendo un integrale di linea, si ha, data l'uguaglianza di sopra:

$int_(A)^(B)vec(E)_n*dvec(s)=-int_(A)^(B)vec(E)_c*dvec(s)$

L integrale a destra non dipende dal percorso, quindi neanche quello a sinistra, quindi E_n è di fatto conservativo. Cosa sbaglio?

[andsocial]

Innanzitutto grazie. Avevo completamente rimosso le nozioni di analisi 2, tra l'altro che non fosse un integrale normale era chiarissimo, visto che è di linea.

Per quanto riguarda:

Perché se fa questa cosa? semplicemente per convenzione, perché per convenzione in questo modo le cariche positive si muovono da potenziali maggiori verso potenziali minori, che è quello che si vuole imporre, sempre per convenzione.

si riconduce ad uno dei primissimi post vero? Dove dici, a proposito del lavoro:

q>0, V(A)>V(B)
In questo caso risulta L>0, ossia il campo elettrico fa un lavoro positivo nello spostare una carica positiva da un potenziale maggiore a uno minore, quindi le cariche positive tendono naturalmente a spostarsi verso zone a potenziale minore.

Quindi senza imporre per definizione quel segno meno avremmo:
$L=qint_(A)^(B)vec(E)*dvec(s)==V(B)-V(A)$ e quindi se $V(A)>V(B)$ avremmo un $L<0$ quindi dovremmo introdurre dall'esterno un lavoro per portare cariche positive da un potenzale maggiore ad uno minore (cosa, che se non ho capito male, per definizione, non vogliamo)

Giusto?

[Vulplasir]

Si, il potenziale è solo questione di definizione e convenzione, non c'è alcun motivo profondo nel modo in cui è definito. Una utilità di questa convenzione è però che, se si considera il campo conservativo di forze elettrico $vec(F)=qvec(E)$, e se si definisce l'energia potenziale elettrica $U=qV$, dati due punti nello spazio si ha:

$int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)=U(A)-U(B)$

Ma per il teorema dell'energia cinetica, dette $K(A)$ e $K(B)$ l'energia cinetica del corpo che viene spostato da A a B dal campo di forze, risulta:

$int_(A)^(B)vec(F)*dvec(s)=K(B)-K(A)$

Unendo i due risultati si ha:

$K(B)-K(A)=U(A)-U(B)$

Ossia:

$K(B)+U(B)-(K(A)+U(A))=0$

Se si definisce $E=U+K$ l'energia meccanica di un corpo, ossia la somma della sua energia cinetica e potenziale si ha:

$DeltaE=0$

Ossia l'energia meccanica si conserva in campi di forza conservativi.

Come vedi, grazie al fatto di aver posto $V=-phi$, abbiamo potuto definire l'energia meccanica come "somma" di energia cinetica e potenziale, se avessimo posto $V=phi$, rifacendo le stesse operazioni di sopra, avremmo dovuto definire l'energia meccanica come $E=K-U$, ossia la differenza tra energia meccanica e potenziale, ma non sarebbe cambiato assolutamente nulla.

[andsocial]

Perfetto. Quindi un po' come avviene in quasi tutti i fenomeni in meccanica dove impostiamo:

$L=\DeltaEk$ (Energia cinetica)

$L=-\DeltaU$ (Energia potenziale, valida solo per forze non dissipative)

$=> \DeltaEm = \Delta(Ek+U) =0$ (Conservazione dell'energia meccanica)

[Vulplasir]

Si, la forza elettrica, se il campo elettrico è conservativo, è conservativa e si comporta come un qualsiasi campo di forze conservativo. Ti ricordo che il caso della meccanica è analogo a questo, infatti quel segno meno che hai messo in $L=-DeltaU$ dipende dal fatto di aver posto $U=-phi$, essendo $phi$ il campo scalare la cui esistenza è garantita dal teorema del gradiente, anche qui per convenzione.

[Vulplasir]

@ralf86 Il fatto è che il campo $E_n$ è presente solo dentro al generatore, mentre il campo E_c è presente su tutto il circuito in cui funziona il generatore, se noi si pone $vec(E)=vec(E)_n+vec(E)_c$ e si fa un loop del circuito si ha: $ointvec(E)*dvec(l)=epsilon$, quindi $vec(E)$ è non-conservativo, la sua non conservatività deve quindi essere dovuta alla non conservatività di $E_n$. Il punbto cruciale è che En è presente solo nel generatore, quindi se da A si va verso B con un percorso esterno al generatore che passa sempre per il circuito , il termine a destra resta invariato mentre quello a sinistra varrebbe zero.