Massimo e minimo assoluti in funzioni a due variabili

[ezio1400]

Buongiorno,
vorrei avere un aiuto su questo esercizio:

Determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione

$f(x,y) = 3x^2-6xy+2y^3$

definito sull'insieme

$E = {(x,y) in R^2 : y^2 <=2x<=4y}$

Ho trovato prima i punti all'interno dell'insieme che sono $(0,0) , (1,1)$ che danno rispettivamente i valori $0$ e $-1$.
Successivamente ho posto prima $x = y^2/2$ per determinare i punti sul bordo e ho trovato il punto$(1/2,1)$ con valore $-1/4$ ed infine ho posto $x= 2y$ quindi facendo qualche passaggio $f(2y,y) = 3*4y^2-6y*2y+2y^3 = 12y^2-12y^2+2y^3$ derivo per trovare il il punto stazionario $6y^2 = 0$ da cui $y=0 -> x=0$ peccato che il punto che mi dovrebbe uscire (che sarà poi il massimo assoluto) sia $(8,4)$. Qualcuno che mi dica cosa sbaglio?

[anonymous_0b37e9]

Devi comunque valutare la funzione nei punti d'intersezione tra la retta e la parabola.

[kamal19]

Sul bordo la funzione diventa di una variabile. Fai un piccolo grafico e vedrai che $0 \leq y \leq 4$ che corrisponde a $0 \leq x \leq 8$

per $x=2y$, la funzione diventa $f(x,y)=f(2y,y)=2y^3$ è una funzione crescente che raggiunge il suo massimo per $y=4$ che corrisponde a $x=8$.

[ezio1400]

Devi comunque valutare la funzione nei punti d'intersezione tra la retta e la parabola.

Ah si certo. Quindi ricapitolando prima valuto l'insieme interno con le derivate parziali. Poi sul bordo $x = y^2/2$ ottenendo un'equazione ad una variabile, e pongo la sua derivata pari a zero. Effettuo la stessa cosa sul bordo $x = 2y$ e infine valuto l'intersezione $(2x)^(1/2) = x/2$ da cui ricavo in questo caso il punto di massimo $(8,4)$

[anonymous_0b37e9]

Ok. Quando utilizzi il metodo della restrizione, avendo tipicamente a che fare con una funzione continua e derivabile definita in un intervallo chiuso e limitato, non è detto che gli estremi assoluti vengano assunti in un punto interno, potrebbero essere assunti agli estremi, dove la tangente non è necessariamente orizzontale. Ciò che, giustamente, kamal19 ti stava facendo osservare.

P.S.
Meglio $[y^2/2=2y]$. Viceversa $[+-sqrt(2x)=x/2]$.