PID + locale --> euclideo (passaggio dim)

[jitter]

Ciao a tutti,
è mezzo pomeriggio che sto inchiodata su un passaggio della dimostrazione che se (A, d) è un anello locale ed è un PID, allora è euclideo.

Incollo uno screenshot del libro (A* è l'insieme degli elementi invertibili di A):



Non ho capito quattro cose, riferite alla frase sottolineata:
1) se ogni elemento $a$ diverso da zero dell'anello si scrivesse $a = cp^n$, allora $a$ non apparterrebbe a (p), che verrebbe a coincidere con $A-{0}$?
2) perché $c$ invertibile?
3) perché si sta usando il fatto che A è un UFD?
4) dove si sta usando il fatto che (p) è primo?

Avevo pensato, per la prima parte della 1):
se A non è un campo, in A ci sarà un elemento non invertibile diverso dallo zero e si hanno due casi:
i) $a\in(p)$
oppure
ii) se $ a\notin(p)$ , considero $(a) + (p) = (b)$. Poiché $(p)$ è massimale, $(p) = (b)$, quindi $(a) + (p) = (p)$: assurdo perché $a \notin p$ nel caso che stiamo considerando. Quindi $a \in (p)$ e si scrive come $a = cp^n$. Non sono convinta, però, perché il libro dice "Poiché A è UDF"; inoltre non ho ancora giustificato perché $c$ sarebbe invertibile...

grazie!

[jitter]

Forse ho capito:

ii) se a∉(p) , considero (a)+(p)=(b). Poiché (p) è massimale, (p)=(b), quindi (a)+(p)=(p): assurdo perché a∉p nel caso che stiamo considerando.

... se $c$ non fosse invertibile, ripeto il ragionamento fatto per $a$ e posso scrivere che $c = c' p^s$. Allora $a = c c' p^(n+s)$, ma nella scrittura $a = cp^n$ credo che $n$ sia preso come "massimo", cioè $c$ non contiene fattori uguali a $p$.

Mi sto avvicinando o sono ancora fuori rotta?

[vict85]

Semplicemente per ogni \(c\in A^{*}\), si ha \(c=cp^0\). Il fatto che si scompone nel prodotto di un elemento invertibile per un multiplo di \(p\) è legato al fatto che gli elementi non invertibili sono contenuti in \((p)\). L'unicità della scrittura è dimostrato nel teorema 5.39, quindi riguardati quella dimostrazione.

[jitter]

Ciao Vict, grazie per la risposta.

Semplicemente per ogni c∈A∗, si ha c=cp0.

ok

Il fatto che si scompone nel prodotto di un elemento invertibile per un multiplo di p è legato al fatto che gli elementi non invertibili sono contenuti in (p).

Per giustificare che non ci sono elementi non invertibili "fuori da $(p)$" va bene come ho fatto nel second post?

[vict85]

Si e no. Il punto è che \(A\) è locale e ogni elemento non invertibile è contenuto dentro un ideale massimale. Siccome hai un solo ideale massimale, ogni elemento che non è dentro quell'ideale è invertibile. Insomma non usi il fatto che è un PID.
Il ragionamento che hai fatto discute dell'unicità della scrittura, ma non dice nulla sull'invertibilità.

[jitter]

Capito grazie ancora