$a^2-b^2=2016$ per $(a, b) ∈ NN^2$

[Erasmus_First]

Quante sono le coppie di naturali $(a, b)$ tali che $a^2 -b^2 = 2016$ ?

Elencale per $a$ e $b$ crescenti.
––––––––
La prima e l'ultima coppia te le dico io!
Prima:(45, 3); ultima: (505, 503).

In generale, come faccio a contare le coppie di naturali $(a, b)$ tali che $a^2 - b^2 = n$ (prefissato arbitrariamente) ?
________

[Vincent46]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fattorizzando, si ottiene $(a+b)(a-b)=2^5*3^2*7$. Chiaramente dev'essere $b<a$, perciò entrambi i fattori a sinistra devono essere positivi e devono dividere $2016$. Questo vuol dire che bisogna risolvere il sistema

\begin{cases}
a+b = m \\
a-b = n
\end{cases}

con $m, n$ naturali tali che $mn = 2016$. Inoltre, poiché $a-b$ è strettamente minore di $a+b$, dev'essere anche $n < m$.

Dato che $a+b$ ha la stessa parità di $a-b$, questo sistema ha soluzioni naturali ogniqualvolta $m$ ha la stessa parità di $n$. Questo vuol dire che sia $m$ che $n$ devono essere pari. in questo caso $a = (m+n)/2$ e $b=a-n$. Ricordando anche la condizione $n<m$, questo mi porta a un numero finito di casi che si possono contare a mano. In questo caso dovrebbero risultare $12$ soluzioni.

Riguardo al trovarle tutte, c'è chi è più bravo di me
---
generalizzando:
$(a-b)(a+b)=k$.

Se $k$ è un numero dispari che non è un quadrato, sia $d$ il numero dei suoi divisori. A ogni divisore $r$ è associato il divisore $k/r$, ed entrambi sono dispari. Per il ragionamento precedente, si trovano $d/2$ soluzioni.

Se $k$ è un quadrato dispari, si ragiona come prima, ma bisogna fare attenzione perché il divisore $sqrt(k)$ va "contato con molteplicità due", per cui si trovano $(d+1)/2$ soluzioni.

Se $k$ è un numero pari che non è un quadrato, della forma $2^(\alpha)j$, sia $d$ il numero dei divisori di $k$. Sia $i$ il numero di divisori di $j$. Allora il numero di divisori dispari di $k$ è $i$, che è anche il numero di divisori di $k$ che sono multipli di $2^(\alpha+1)$. Questi divisori li scartiamo perché non soddisfano la condizione richiesta prima sulla parità di $m$ e $n$. Allora restiamo con $d-2i$ divisori buoni, che portano a $d/2 -i$ soluzioni. questo si accorda con il risultato trovato prima: nel caso di $k=2016$ si trova $d=36, i=6$, per cui la formula restituisce esattamente $12$.

Se $k$ è un quadrato pari, ragionando come prima, otteniamo $(d+1)/2 -i$ soluzioni.

[Snello18]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sono nuovo a questo tipo di problemi, quindi non so se il mio modo di ragionare è corretto o meno. Ma proviamoci comunque e se sbaglio, spero che qualcuno mi correggerà.
$ a^2-b^2=2016 $
Sappiamo che 2016 può essere scritto come: $ 2^5*3^2*7 $.
Inoltre, essendo $ a $ e $ b $ interi possiamo anche scrivere questa condizione
$ b+k=a $ con $ k $ intero.
Otteniamo dunque:
$ k(2b+k)=2016 $ e dunque $ b=(2016/k-k)/2 $ .
Per trovare le coppie di numeri interi che soddisfano l'equazione, sarà sufficiente sostituire a $ k $ tutti i possibili divisori di $ 2016 $ a patto però che venga rispettata la seguente condizione:
$ 2016/k-k=m $ con $ m in N $
In totale esistono 12 coppie di numeri che soddisfano l'equazione.
Accetto critiche e correzioni di ogni genere, grazie.

[@melia]

@ Snello18
Credo che l'ultima condizione potrebbe essere più restrittiva $2016/k-k= 2m$ con $m in NN$ così da evitare alcuni dei tentativi.

[Snello18]

@ Snello18
Credo che l'ultima condizione potrebbe essere più restrittiva $2016/k-k= 2m$ con $m in NN$ così da evitare alcuni dei tentativi.

Si, lei ha perfettamente ragione. Avevo dimenticato di riportare un'ulteriore condizione dai miei conti e cioè che
$ 2016/k-k $ mi restituisca un numero pari e quindi mi trovo pienamente d'accordo con lei.
La rigrazio per la puntualizzazione

[Erasmus_First]

Il quiz chiedeva ;
Quante sono le coppie di naturali $(a, b)$ tali che $a^2 -b^2 = 2016$ ?
Elencale per $a$ e $b$ crescenti.

Vincent46 ha risposto ottimamente a riguardo di come si fa a trovare le coppie $[a, b]$ ... ma si è rifiutato di calcolarle; e quindi non ha detto quante sono, tantomeno le ha elencate.
Siccome $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, se $a$ e $b$ sono interi positivi dovrà essere
$0 < b < a$ ∧ $(a-b)(a+b)= 2^5·3^2·7$
Di conseguenza, posto
$d = a - b$ e $s = a + b$,
occorrerà prendere d divisotre di 2016 e minore di $sqrt2016$ (che è maggiore di 44 e minore di 45) e quindi
$s = 2016/d$.
Siccome 2016 è pari, sia d che s dovranno essere pari.
Infine, per ogni coppia [d, s], sarà
$a-b = d$ ∧ $a+b = s$ ⇔ $a = (s + d)/2$ ∧ $b = (s-d)/2$. (*)

Cerco dunque tutti i divisori d di 2016 con
• d < 45
• d e 2016/d = s entrambi pari.
Questi divisori d sono (in ordine decrescente)
42, 36, 28, 24, 18, 16, 14, 12, 8, 6. 4, 2
[Le coppie [a, b] saranno dunque 12]
Le coppie distinte di interi [d, s] tali che sia d < s e d·s=2016, (ossia, dato d, s = 2016/d) sono dunque
[42, 48]; [36, 56]; [28, 72], [24, 84]; [18, 112]; [16, 126]; [14, 144]; ]12, 168]: [8, 252]: [6, 336]; [4, 504]; [2, 1008]-
Da queste, tramite la (*) ricavo le seguenti 12 coppie [a, b] (tali che $a^2 - b^2 = 2016$):
[45, 3]; [46, 10]; [50, 22]; [54, 30]; [65, 47]; [71, 55]: [79, 65]; [90, 78]; [130, 122]; [171, 165]; [254, 250]; [505, 503].
–––––

[@melia]

e c'hai ragione pure tu!

[Vincent46]

però che erano $12$ l'avevo detto

[giammaria]

Il metodo proposto da Erasmus_First mi piace molto ma ne propongo un piccolo miglioramento.

Poiché sia $a+b$ che $a-b$ sono pari, pongo
${(a+b=2p),(a-b=2q):}->{(a=p+q),(b=p-q):}$

con $p,q$ interi e $pq=504$. Inoltre $q<p->q^2<504->q<22.4$

I sottomultipli di 504 minori di quel valore sono

$1;2;3;4;6;7;8;9;12;14;18;21$

e per ognuno di essi si ha $p=504:q$; se ne deducono $a,b$ (con i valori indicati da Erasmus_First).

Mi pare che sia meglio perché si usano numeri un po' più piccoli, si calcolano $a,b$ un po' più velocemente e soprattutto è facilitata la ricerca dei valori accettabili di $q$