[Fisica 1] Esercizio gravitazione

[SaraSue]

Ciao, avevo risolto un esercizio di un vecchio compito per prepararmi all'esame, poco fa mi sono accorta di un grave errore proprio in cima ai calcoli quindi sono dinuovo a zero, vi chiedo una mano.

La traccia:
Un piccolo innocente sassolino, infinitesimo residuo della maestosa nascita del sistema planetario che noi umilmente abitiamo, percorre un’orbita ellittica intorno all’onnipotente Sole, la cui massa vale $M_S$. Sia $G$ la costante di gravitazione universale, secondo Newton. In un istante generico il sassolino, a distanza (in modulo) $R_0$ dal sole, ha una velocità (in modulo) $V_0$. Quanto vale il semiasse maggiore della sua orbita?

Da dove avevo iniziato:

$\DeltaL=0$ a sistema con $F_G=F_C$

[Lollo96]

Conservazione dell'energia. Hai l'energia totale del sistema dalla conoscenza di R0 e V0. Sai che nel punto corrispondete all'asse maggiore la velocità radiale è nulla, si ha solo tangenziale, pertanto ricavi la velocità del sasso dalla forza gravitazionale (Forza gravitazionale=(V^2/R)*m). Da questo hai la cinetica in funzione di R. A quest'energia sommi la potenziale gravitazionale, sempre in funzione di R, e poni tutto uguale all'energia totale che ti dà il problema. Hai un'equazione di secondo grado (perché le considerazioni fatte valgono sia per il perielio che per l'afelio) e ovviamente prendi la soluzione più grande delle due che ottieni.

[Cmax]

Problemino simpatico, che mi ricorda ... Ma ovviamente non hai postato per ascoltare le mie memorie.
Allora, come già suggerito, una variabile chiave è l'energia, che puoi calcolare. Per comodità indichiamo $GM_S = \alpha$ e calcoliamo l'energia per unità di massa
$$\epsilon = \frac{E}{m} = \frac{1}{2} V_0^2 - \frac{\alpha}{R_0}$$
Non è purtroppo vero che all'afelio (che indichiamo con $a$) e al perielio ($p$) la forza centrifuga eguagli la forza gravitazionale, è una condizione che vale solo per orbite circolari. Ci può convincere facilmente di questo notando che assegnando a una particella a una determinata distanza una velocità arbitraria ma comunque ortogonale al raggio, un solo valore corrisponderà all'orbita circolare. È vero comunque che in $a$ e $p$ la velocità radiale è nulla, quindi possiamo scrivere la conservazione del momento angolare $j=mv_aa=mv_pp$, e quindi otteniamo il sistema

$$\begin{cases}
v_aa=v_pp \\
\frac{1}{2}v_a^2 - \frac{\alpha}{a} = \epsilon \\
\frac{1}{2}v_p^2 - \frac{\alpha}{p} = \epsilon
\end{cases}$$
A questo punto, con un po' di algebra, possiamo ricavare $a+p = -frac{\alpha}{\epsilon}$, che corrisponde all'asse maggiore. Il semiasse è $\frac{a+p}{2}$. Poiché l'orbita è ellittica, $\epsilon<0$, e quindi il risultato è perlomeno sensato. Nota che le condizioni non sono sufficienti a determinare univocamente l'orbita, e quindi non puoi calcolare $a$ o $p$ separatamente.
In effetti, se il docente ha un po' di senso dell'umorismo, una soluzione possibile, ma non del tutto valida, potrebbe essere la seguente.

Il problema non sarebbe stato assegnato se la soluzione non fosse univoca. L'orbita è ellittica, ma non si tratta di un'informazione determinante, in quanto l'orbita circolare è un caso particolare di ellisse. Tanto vale risolvere il problema per l'orbita circolare, esprimendo il semiasse in funzione delle costanti del moto che conosciamo, ossia l'energia. Nel caso specifico valgono le condizioni
$$ \begin{cases}
\frac{E}{m} = \frac{1}{2} V_0^2 - \frac{\alpha}{R_0} = \epsilon \\
V_0^2 - \frac{\alpha}{R_0}=0
\end{cases} $$
La prima è la conservazione dell'energia già vista, la seconda è la corrispondenza tra forza centripeta e forza gravitazionale (siamo in orbita circolare, quindi vale). Eliminando $V_0^2$ e esprimendo $R_0$ in funzione di $\epsilon$ si ha $R_0 = -\frac{\alpha}{2\epsilon}$, che corrisponde alla soluzione già trovata.

Un particolare un po' antiestetico: mi accorgo che il carattere \epsilon è reso in modo diverso nelle equazioni in linea con il testo e in quelle in paragrafo separato. Ovviamente si tratta sempre della stessa grandezza.
Altro metodo semiumoristico di risoluzione.

Partendo dallo stesso presupposto precedente, possiamo applicare le medesime considerazioni di orbita rettilinea, con $V_0$ radiale in allontanamento. Allora la distanza $d$ raggiunta dalla massa sarà per la conservazione dell'energia
$$ \frac{1}{2} V_0^2 - \frac{\alpha}{R_0} = \epsilon = -\frac{\alpha}{d}$$
L'orbita è quindi quella di una massa a distanza $d = -\frac{\alpha}{\epsilon}$ inizialmente ferma e in caduta libera. Tuttavia sappiamo che questo caso corrisponde a un'ellisse degenere di asse maggiore $d$ e asse minore $0$. Quindi il semiasse maggiore è $\frac{d}{2} = - \frac{\alpha}{2\epsilon}$, che è ancora la soluzione già trovata, espressa in termini di costanti del moto. Questo metodo è anche preferibile al precedente perché comporta meno calcoli, e presenta un po' meno ambiguità nell'interpretazione del semiasse. Nel caso dell'orbita circolare $R_0$ oltre che semiasse è anche afelio e perielio, e non possiamo essere immediatamente sicuri che quando si rimuove la degenerazione non vada a ricoprire uno di questi ruoli, qui $d$ è asse e solo afelio.

[mathbells]

@Lollo96
Come osservato da Cmax, credo tu faccia un po' di confusione tra raggio di curvatura istantaneo dell'orbita, afelio e semiasse. Sono cose diverse, e non puoi chiamare tutto R.

@Cmax
Tutto ok ma credo che l'utente si sia un po' perso. Mi sono perso un po anch'io nel senso che ad un certo punto sembra che tu dica che la soluzione del problema non sia univoca anche se in realtà la fornisci (hai dato la formula per il semiasse richiesto)...ma forse, per l'ambiguità, ti riferivi al calcolo delle distanza all'afelio e al perielio?

@SaraSue
Cerco di riassumere:
per le orbite ellittiche è noto che l'energia dipende solo dal semiasse maggiore $a$ secondo la relazione (m è la massa del sassolino)
\(\displaystyle E=-\frac{GM_Sm}{2a} \)
Dai dati del problema, sai che l'energia vale
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}mV_0^2-\frac{GM_Sm}{R_0} \)
Uguagliando le due espressioni trovi
\(\displaystyle a=\frac{1}{\frac{2}{R_0}-\frac{V_0^2}{GM_S}} \)

PS: ma la traccia del problema era davvero scritta con quello stile "pomposo"

[Cmax]

Il lato interessante del problema sembra essere proprio questo: assegnare in un determinato istante il modulo della velocità e la distanza dal centro a una particella in campo gravitazionale determina univocamente la lunghezza del semiasse, anche se ovviamente non l'orbita. Per esempio, le soluzioni umoristiche proposte determinano un'orbita circolare e una rettilinea con il medesimo semiasse, e ce ne sono infinite altre.

[mathbells]

assegnare in un determinato istante il modulo della velocità e la distanza dal centro a una particella in campo gravitazionale determina univocamente la lunghezza del semiasse, anche se ovviamente non l'orbita.

Su questo siamo d'accordo. Ma è cosa ben nota. Forse non afferro ancora cosa volevi dire...

[SaraSue]

Ok, mi trovo con $E=1/2mV_0^2-(GM_Sm)/R_0$ (che sarebbe $E=K+U$)

ma da dove viene $E=-(GM_Sm)/(2a)$ ?

PS

se il docente ha un po' di senso dell'umorismo

Ti assicuro di si, leggi l'esercizio 1 di http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 1-1415.pdf

ma la traccia del problema era davvero scritta con quello stile "pomposo"

Sì, proprio così (esercizio 2 di http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 5-1112.pdf).

[Cmax]

Un pisano ...
Ecco perché l'esercizio aveva qualcosa di familiare ...

ma da dove viene $E=-(GM_Sm)/(2a)$ ?

Dalla teoria. Se nel corso di fisica 1 avete studiato le traiettorie in campo gravitazionale in forma conica, ne trovi la dimostrazione nel libro di testo.
Ma in realtà non c'è bisogno di conoscere questa proprietà o di ricordarla (che è quella che assicura che le soluzioni "umoristiche" siano corrette): basta ricordare che la velocità radiale è nulla nei punti di massima e minima distanza dal centro (credo sia più facile: è una caratteristica di tutti i moti in campo centrale) e puoi seguire il metodo proposto in precedenza.
Comunque grazie per questa ventata di ricordi d'infanzia (beh, quasi).

[mathbells]

ma da dove viene $E=−\frac{GM_Sm}{2a}$ ?

Riprendo quanto detto da Cmax.
Nel moto orbitale si conservano energia e momento angolare. Quindi:
\begin{cases} v_aa=v_pp \\ \frac{1}{2}v_a^2 - \frac{\alpha}{a} = \epsilon \\ \frac{1}{2}v_p^2 - \frac{\alpha}{p} = \epsilon \end{cases}

La prima equazione è la conservazione del momento angolare scritta considerando i punti all'afelio ed al perielio (lì le velocità sono perpendicolari al raggio vettore). Le altre due sono le espressioni dell'energia sempre all'afelio ed al perielio, uguagliate al valore $E$. Le equazioni sono state semplificate dividendo per la massa "m" del sassolino ed introducendo per semplicità i valori $\epsilon = E/m$ ed $\alpha =GM_S$.
Ora, dalla prima ricavi $v_p$ e sostituisci nella terza. Poi dalla seconda ricavi $v_a^2$ e sostituisci ancora nella terza. A questo punto la terza equazione è diventata:

\(\displaystyle (2\epsilon+\frac{2\alpha}{a})\frac{a^2}{p^2}-\frac{2\alpha}{p}=2\epsilon \)

Raccogli i termini in $\epsilon$ ed ottieni

\(\displaystyle 2\epsilon(\frac{a^2}{p^2}-1)=\frac{2\alpha}{p}-\frac{2\alpha a}{p^2} \)

Ora al primo membro fai il mcm nella parentesi ed usi il prodotto notevole "somma per differenza"; al secondo membro, moltiplichi per $p$ il numeratore ed il denominatore del primo termine. Infine, sommi, semplifichi ed ottieni

\(\displaystyle \epsilon=-\frac{\alpha}{a+p} \)

Ricordando il valore di $\epsilon$ e che $a+p$ è l'asse dell'ellisse, ottieni l'espressione cercata. ATTENZIONE: LA $a$ presente in $E=−\frac{GM_Sm}{2a}$ è il semiasse, non la distanza all'afelio (qui c'è un po' di confusione di notazione, ma insomma...si capisce dal contesto)